Примеры решениЯ задач

Задача 1. Над стальной поверхностью на расстоянии h от нее протянут тонкий длинный провод (рис.1), по которому протекает электрический ток I. Найти напряженность магнитного поля в стали в точках, расположенных на расстоянии от поверхности стали 0,5h, 1,0h, 1,5h, и построить картину магнитного поля в ней, если ₁ =9₀.

Р ис.1.

Решение. Подобные задачи проще решать по методу зеркальных изображений. Магнитное поле в воздухе рассматривается как сумма полей от действительного тока I в воздухе и его зеркального изображения I₂, причем I₂ имеет одинаковое направление с I, но отличается по величине. Магнитное доле в стали рассматривается как сумма полей от действительного тока I и тока I₁, причем токи I и I₁ разные по величине и направлению, протекающие по одному и тому же проводу.

Используя граничные условия магнитного поля Н_1t =Н_2t, B_1n = B_2n и выразив значения Н_1t, Н_2t, В_1n и В_2n через действительный ток I и его изображения, а, именно,

, ,

, ,

после решения уравнений, получим

Напряженность поля в точке а

;

в точке b: ;

в точке с: .

Так как в области стали магнитное поле определяется токами I и I₁, протекающими по одному проводу, то линии магнитных сил будут окружностями с центром, совпадающими с осью действительного провода.

Задача 2. Найти значение векторного потенциала для магнитного поля внутри и вне бесконечно длинного цилиндрического провода радиуса а (рис. 2). Материал провода—медь. По проводу протекает постоянный ток с плотностью .

Р ис. 2.

Решение. Будем исходить из уравнения Пуассона. Так как векторный потенциал имеет в данной задаче одну компоненту вдоль оси z и зависит только от z, исходное уравнение Пуассона в цилиндрических координатах запишется так:

;

для меди  = 1.

Ввиду того, что вектор плотности тока направлен по оси z, вектор потенциал имеет только одну составляющую А_z. Интегрируем это уравнение

,

откуда .

Беря повторный интеграл, находим .

Вне цилиндра  = 0, и, следовательно, А_z = С₃lnr + С₄,

где С₃ и С₄ новые постоянные (учитывая различие в граничных условиях внутри и вне провода).

Для определения постоянных интегрирования найдем значение магнитной индукции. В области внутри провода

.

В области вне провода ,

(остальные компоненты ротора тождественно равны нулю).

Определим постоянные C₁ и С₂ для области внутри провода. Так как В должно остаться всюду конечным, то C₁ = 0; примем, что при x = 0 векторный потенциал A = 0, тогда получим, что С₃ = 0. Следовательно, А_z = .

В области вне провода постоянные C₃ и C₄ определяются из условия непрерывности векторного потенциала на границе r = а

и непрерывности тангенциальной составляющей вектора Н, что при =const означает непрерывность тангенциальной составляющей вектора В. Из двух последних уравнений определяем

; ,

что позволяет написать значение А_z

.

Основные формулы

Закон полного тока

.

Закон Био-Савара:

.

Закон Ампера:

dF = I[dl,B] .

Зависимость между магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля (изотропные среды):

B = _aH = ₀H = ₀H + J ,

₀ = 4·10^-7 Гн/м – магнитная постоянная;  - относительная магнитная проницаемость; _а – абсолютная магнитная проницаемость.

Интенсивность намагничивания:

J = ₀_мH,

где _м – относительная магнитная восприимчивость.

Первое уравнение Максвелла для постоянных токов:

rotH =  = E; div _aH = 0.

Зависимость между напряженностью магнитного поля и векторным потенциалом:

; div A = 0 .

Вектор магнитного поля:

.

Основные уравнения магнитного поля:

rot A = B = _aH; ²A = - _a .

Граничные условия в магнитном поле:

B_1n – B_2n = 0; H_1t – H_2t = ,

где σ = - поверхностная плотность тока.

Энергия магнитного поля:

.

Магнитный поток: .

Соленоидальность магнитного поля:

, или .

Векторный потенциал линейного тока: .