13.10. Граничные условия

Подобно тому, как в электростатическом поле и в поле проводящей среды выполнялись определенные граничные условия, в магнитном поле также имеют место аналогичные условия:

Н_1t =Н_2t, (13.12)

В_1n =В_2n (13.13)

Условие (13.12) означает, что на границе раздела двух однородных и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные ), равны тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля. Условие (13.13) свидетельствует о равенстве нормальных составляющих векторов магнитных индукций на границе раздела. Условие (13.12) выводят путем составления линейного интеграла по плоскому контуру mnpq (рис. 13.5, б) и приравнивания его нулю (так как он не охватывает тока). Стороны nр и qm ничтожно малы по сравнению со сторонами mn и pq. Длину стороны mn и равную ей по величине длину стороны pq обозначим через dl. Тогда H₁sin₁dl — Н₂sin₂dl = 0, но H₁sin₁ = Н_1t, H₂sin₂ = Н_2t, следовательно Н_1t = Н_2t.

Условие (13.12) не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому проводнику, помещенному на границе раздела. В этом случае будет равняться не нулю, а поверхностному току dl, который оказался внутри замкнутого контура:

H₁sin₁dl — Н₂sin₂dl = dl и в силу этого H_1t — Н_2t = .

Другими словами, при наличии поверхностного тока с плотностью  тангенциальная составляющая напряженности поля терпит разрыв. Как правило, поверхностный ток отсутствует, и условие (13.12) выполняется. Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индукции следует из принципа непрерывности магнитного потока:

= 0.

Для того чтобы убедиться в справедливости (13.13), на границе раздела выделим небольшой плоский параллелепипед и подсчитаем потоки вектора В через нижнюю грань (рис. 13.6) —B_1nS и верхнюю B_2nS. Сумма потоков равна нулю: —В_1nS + B_2nS = 0. Следовательно, B_1n = B_2n.

Из (13.12) и (13.13) вытекает соотношение

. (13.14)

Рис.13.6. Граничные условия на границе раздела двух тел с различными магнитными проницаемостями.

Оно дает связь между углом падения ₁ и углом преломления ₂ (рис. 13.5, б). Если магнитные силовые линии выходят из среды с большой магнитной проницаемостью, например _1a = 10⁴ ₀, в среду с малой магнитной проницаемостью, например в воздух _2a = ₀, то

и tg₁ = 10^-4 tg₂.

Следовательно, угол ₂ много меньше угла ₁.

Например. Найти угол ₂, под которым силовые линии выходят в среду с магнитной проницаемостью _2a, если угол ₁ = 89°;

_1a = 10⁴ ₀, _2a = ₀.

Решение. tg₁ = tg 89°= 57,29;

tg₂ = tg₁ = 10^-4 tg₁ = 0,005729; ₂ = 20'.

13.11. Векторный потенциал магнитного поля

Для расчета магнитных полей широко используют векторный потенциал, или вектор-потенциал магнитного поля. Его обозначают А. Это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке, ротор которой равен магнитной индукции:

B = rotA. (13.15)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю.

Известно, что в магнитном поле divB = 0. Подстановка в это равенство rot А вместо В дает выражение, тождественно равное нулю:

div rot A = 0.

Равенство нулю div rot А можно пояснить с помощью оператора . С этой целью вместо rot А запишем [A]. Тогда div rot А =  [A]. Векторное произведение [A] перпендикулярно и к  и к A. Скалярное произведение  на [A], т. е. [A], равно нулю потому, что равен нулю косинус угла между  и [A].

Если вектор-потенциал как функция координат известен то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (13.15). В отличие от скалярного магнитного потенциала _м, пользоваться которым можно только для областей, не занятых током (см. 13.10), векторным потенциалом можно пользоваться как для областей, не занятых током, так и для областей, занятых током. В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей:

1. определения магнитной индукции с помощью формулы (13.15);

2. определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур (см. 13.14).

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.