Коэффициент корреляции

^{(при линейной форме связи)}

_ ² _xy

_{ x  y}

_

_{rxy }

^xy _{rxy }

 

_{  x2}

_{ x 2}

_{  y2}

_{ y 2}

_ x y

^{x y x y}

_{n n n}

_{ }

_{rxy }

ⁿ_ ^x_i ^y_i

^{i 1}

^- _

^{i 1}

^x_{i } ^y_i

^{i 1}

_{n n n n}

_{ n x 2 - (}

x )²

_{  n y 2 - (}

_{y )2 }

^{ } i

^{ i 1}

^{ i}

^{i 1}

^{  } i

^{  i 1}

^ i ^

^{i 1 }

^{r - коэффициент корреляции между двумя случайными переменными;}

^{х - значение показателя-фактора,}

^{y - значение результативного показателя.}

^{Таблица для расчета коэффициента корреляции}

Число набл.,n	Факторный признак, x	Результативн ый признак, y	y2	x2	xy
1	x1	y1	y12	x12	x1y1
2	x2	y2	y22	x22	x2y2
3	x3	y3	y32	x32	x3y3
итого	n  xi i 1	n  i y i 1	n  i y 2 i 1	n  xi 2 i 1	n  xi yi i 1
Средняя	n  xi X  i 1 n	n   i Y  i 1 n	n  i Y 2  i 1 n	n  X 2  i 1 n	n   i i XY  i 1 n

2

_{y y x2}

_i ^{x y}

^{Оценка коэффициента корреляции}

^{Парный коэффициент корреляции изменяется -1< r <1.}

Количественная оценка тесноты связи

при различных значениях коэффициента корреляции

Величина коэффициента корреляции	0,1- 0,3	0,3- 0,5	0,5- 0,7	0,7- 0,9	0,9- 0,99
Теснота связи	Очень слабая	Слабая	Умеренная	Высокая	Очень высокая

^{Оценка линейного коэффициента корреляции}

Значение линейного коэффициента корреляции	Характеристика связи	Интерпретация связи	Наглядное представление связи
r=0	Взаимосвязь отсутствует	-	Совершенно случайное облако
Близко к 0, но положительное	Незначительная положительная взаимосвязь	С увеличением факторного слабо возрастает результативный	Точки данных образуют случайное облако с незначительной ориентацией вверх и вправо
Близко к +1	Сильная положительная взаимосвязь	С увеличением факторного увеличивается результативный признак	Точки данных плотно сгруппированы вокруг прямой, направленной вверх и вправо
Близко к 0, но отрицательное	Незначительная отрицательная взаимосвязь	C увеличением факторного незначительно уменьшается результативный признак и наоборот	Точки данных образуют случайное облако с незначительной ориентацией вниз и вправо
Близко к -1	Сильная отрицательная взаимосвязь	С увеличением факторного уменьшается результативный признак и наоборот	Точки данных плотно сгруппированы вокруг прямой, направленной вниз и вправо
r=+1	Функциональная взаимосвязь	Определенному значению факторного признака соответствует строго одно значение результативного	Все точки данных располагаются строго по прямой, направленной вверх и вправо
r=-1	Функциональная взаимосвязь		Все точки данных располагаются строго по прямой, направленной вниз и вправо

^{При построении парной регрессии обычно используются следующие функции}

_{yx }

_{a0 }

_{a1 x}

линейная

_{yx }

_{a0 }

a1 x

_a1

_{ a2 x}²

параболическая

^{yx }

_{a0 }

^x

гиперболическая

_{yx }

_{a0  a1}^x

показательная

_{yx }

_{a0 }

_xa1

степенная

^{Вычисление параметров парной линейной регрессии}

_{yx }

_{a0 }

_{a1 x}

_yx ^{- среднее значение результативного признака при определенном значении}

^{факторного признака x;}

_a0 - показывает усредненное влияние на результативный признак не учтенных в уравнении факторных признаков;

_a1 - коэффициент регрессии, показывающий насколько в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного признака на единицу собственного измерения

_{Оценка параметров уравнений регрессии a0 a1}

^{осуществляется}

^{методом наименьших квадратов, в основе которого лежит}

предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по

^{выбранному уравнению регрессии}

_n

^S=_^{( y}_i

^{i 1}

_{ yx )}²

_{ min}

^{Система нормальных уравнений для нахождения}

^{параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов}

_{n n}

_{na 0 }

^a1_ ^x_i

_{i 1}

^ _ ^y_i

_{i 1}

_{n n n}

2

^{a 0} _ ^x_i

^{ a1}_ ^x_i

^ _ ^x_i ^y_i

i 1

i 1

i 1

^{n – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдения)}

_{Решая систему уравнений получаем параметры , a0}

_a1 ^{, которые}

_{подставляют в уравнение прямой и рассчитывают теоретические значения} ^yx

^{Проверка правильности построенного уравнения регрессии}

1.Вычисляют абсолютные отклонения (абсолютные остатки) фактических значений признака от теоретических

_{ i = yi}

_{- yx}

^{2.Если уравнение построено правильно, то выполняется условие:}

_n

^{ i = 0}

^{i 1}

^{Принятие решений на основе уравнений регрессии}

^{Оценка коэффициентов регрессии}

А Т Н

^Е

ЦИ И Ф

КОЭФ

-

УС Н И М

_М

АКО ЗН

О С

^{Чем больше}

^{значение}

^{коэффициента}

^{регрессии, тем}

^{значительнее}

^{влияние данного}

^{признака на}

^{моделируемый}

С Ю

ПЛ М

АКО ЗН

О С

С увеличением данного фактора результативный признак возрастает

С увеличением данного фактора результативный признак уменьшается

_{Вопросы:}

КОНЦЕПЦИЯ НАРАЩЕНИЯ И ДИСКОНТИРОВАНИЯ КАПИТАЛА

1. Концепция временной ценности денежных средств. Факторы, определяющие несопоставимость денежных средств в разных периодах времени.

2. Сущность простого и сложного процента. Методы расчета текущей и будущей стоимости денежных средств.

3. Дисконтирование.

4. Аннуитет.

Разность в оценке текущих денежных средств и той же самой их суммы в будущем может быть связана с следующими факторами:

• негативным воздействием инфляции, в связи с чем происходит уменьшение покупательной способности денег;

• возможностью альтернативного вложения денежных средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной выгоды);

• ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств

(чем длительнее срок вложения капитала, тем выше степень риска);

• потребительскими предпочтениями (лучше получить меньше доход в ближайшем периоде, чем ожидать большее, но в отдаленной перспективе).

Текущая стоимость денежных средств в начальный

_период

Анализ наращения ^{Будущая} стоимость

денежных средств в n-й период

_{инвестирования}

Дисконтный анализ

инвестирования

_{0 1 2 … n-1 n t}

Рис. 1. Схема проведения инвестиционного анализа с использованием операций наращения и дисконтирования капитала

Нахождение будущей стоимости денежных средств по истечении одного периода времени и при известном значении темпа их прироста осуществляется по формуле FV=PV + PV * nr = PV*(1+ nr), (1)

Будущая стоимость (FV) =

PV  (1  процентная ставка вдолях ед.) ⁿ

_{дисконтный множитель}

где FV – future value – будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования (t=1), тыс. руб.;

PV – present value – настоящая, первоначальная (принципиальная) сумма

денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

r - темп прироста денежных средств, коэффициент.

Процесс, в котором при заданных значениях PV и r необходимо найти величину будущей стоимости инвестированных средств к концу определенного периода времени (n) называется операцией наращения.

В практике инвестиционного анализа "темп прироста" денежных средств принято называть "процентом", "ставкой процента" или "нормой рентабельности", а

первоначальную сумму денежных средств - "текущей стоимостью" (РV).

В инвестиционном анализе под стандартным временным интервалом принято рассматривать один год.

Срок инвестиционной операции, исходя из формулы простого процента, определяется по формуле:

_{n } ^{FV PV}

PV  r

₍₂₎

_{Величину процентной ставки можно определить по формуле:}

_FV

^{r }

 PV ^ y

PV  t

₍₃₎

где y – год в месяцах или днях (12, или 365)

t – срок финансовой операции в месяцах или днях.

Использование простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) только с первоначальной суммы инвестиций в течение всего срока реализации проекта.

В противоположность данному подходу использование сложного процента

(compound interest) говорит о том, что полученный доход (проценты, дивиденды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо

первоначальной суммы денежных средств процент берется также из накопленной в

предыдущих периодах суммы процентных платежей или любого другого вида доходов.

Операция наращения определяет будущую стоимость проекта с учетом фактора времени:

FV

_где

 PV

 (1 r) ⁿ

( 4)

FV будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования

(t=1), тыс. руб.;

РV - первоначальная (приведенная, настоящая) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

r - темп прироста денежных средств, коэффициент

n – количество процентных периодов (лет), т.е. срок финансовой операции.

В случае же, когда дополнительно оговаривается частота выплаты процентов по вложенным средствам в течение года, формула расчета будущей стоимости инвестированного капитала может быть представлена в следующем виде:

_

_{FV  PV  1 } ^r

_nm

_

_

₍₆₎

ⁿ _ ^m _

где r - годовая процентная ставка, коэффициент.;

т - количество начислений в году, ед.;

п - срок вложения денежных средств, год.

А, исходя из формулы сложного процента, срок операции в годах определяется:

_lg ^FV

_{n  PV}

lg 1  r 

₍₇₎

Начисление процентов (дивидендов или др.) может осуществляться ежедневно, ежемесячно, поквартально, один раз в полугодие и один раз в год. Характерно, что чем больше количество раз в течение года будут начисляться проценты, тем больше будет FV в конце n-го периода времени.

_{FV  PV}

_mn

1

_

_ ^ _{ r} ^{t }

_ ^y _

₍₈₎

где FV – будущая стоимость, будущая сумма денег,

PV – настоящая стоимость,

n – количество процентных периодов (лет), т.е. срок финансовой операции,

r – ставка процентов за период (год),

t – срок операции в днях или месяцах,

y – год в днях или месяцах.

m – сколько раз начисляются проценты в году,

Эффективная годовая процентная ставка (ЕАR), рассчитываемая по формуле:

_m

_{ }

_¹

_

_EAR ^{ r }

_{1  FVIF r 1}

₍₉₎

^{ m } _m ^{, m}

Чем выше значение r, тем ниже текущая стоимость получаемых в будущем доходов

(процентов, дивидендов и пр.),

и, наоборот, чем ниже значение r, тем большую ценность имеют будущие результаты с позиции их текущей стоимости.

Процесс конвертирования планируемых к получению в предстоящих периодах времени денежных потоков в их текущую стоимость называется операцией дисконтирования.

Процентная ставка, используемая в подсчете РV, называется дисконтной ставкой. Показатель текущей стоимости рассчитывается по формуле

_{PV } ^FV

^{(1  r) n}

(14)

^{Отношение ⁄ известно как фактор (множитель) текущей стоимости}

^{(РVIFr,n), в таблице А-1}

Если начисление процентов планируется (или произошло) более одного раза в год, формулу для нахождения PV необходимо представлять в следующем виде:

_{PV } ^FV

_{(1 } ^r ₎ ^nm

^m

(15)

Аннуитет (A (Anny)– annuity – аннуитет) представляет собой равные по величине денежные потоки, возникающие в каждом периоде определенного временного интервала.

Это соглашение, согласно которому производится взнос фиксированной разовой денежной суммы, взамен чего (или) в течении оговоренного срока получают

либо разовую сумму, либо периодические платежи.

Поступления и выбытия средств могут происходить как в начале (обязательный аннуитет),

так и в конце каждого конкретного периода (обыкновенный, или отложенный,

_{аннуитет).}

0	1	2	….	n-1	n
	P	P	P	P	P*(1+r)0	период времени (t)

Р*(1+r)¹

P*(1+r)²

_P*(1+r)^n-1

FVA

Рис. 2. Схема подсчета будущей стоимости обыкновенного аннуитета, продолжающегося в течение л -

периодов, при ставке процента, равной r

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета (FVA_n), продолжающегося в течение n-периодов, определяется по следующей формуле:

FVA

 P 

1  r ⁿ 1

_r

(16)

FVA= P*FVIFA (17)

где Р - периодические поступления или выбытия (платежи) равных по величине денежных средств, тыс. руб.;

FVIFA_r.n - фактор (множитель) будущей стоимости обыкновенного аннуитета, коэффициент, таблица А-4.

Множитель FVIFA_r,n может быть рассчитан по следующей формуле:

FVIFA

_n

^ 

t 1

1 

_{r }nt

_{1 r }ⁿ_1

_

^r

(18)

Стандартные значения FVIFA_r,n представлены в спец. таблицах. Данный показатель отражает будущую стоимость одной денежной единицы в конце срока реализации инвестиционного проекта.

_{Накопленная сумма в конце периода n рассчитывается следующим образом:}

_{FV }

_{PV (1  r)}ⁿ _

_{P  (}_{1  r} ⁿ

1)

^{}

_{вычи слени е}

_^r



₍₁₉₎

на ко п ленной сто и мо сти от

п ер во на ча льно го вло ж ени я

вычи слени е суммы ,

на ко п ленной от

1

п ер и о ди чески х п ла теж ей

Текущая (настоящая) стоимость аннуитета (PVA) равна сумме денежных средств, дисконтированных индивидуально по каждому периоду времени.

0 1 2 … n-1 n

_{P P P P P период времени t}

PVA

P/(1+r) P/(1+r)²

_P/(1+r)^n-1

_P/(1+r)ⁿ

Рис. 3. Схема подсчета текущей стоимости обыкновенного аннуитета со сроком платежей в течение n-периодов при ставке процента, равной r

_{ 1}

_{PVA  P }  _

r

_

^

_

_

_

^{r  1  r n }

(20)

PVA= P*PVIFA (21)

где PVIFAr.n- фактор (множитель)текущей стоимости обыкновенного аннуитета, коэффициент по таблице А-2.

Без использования финансовых таблиц PVIFA исчисляется по формуле:

PVIFA

t , n

_n

^ 

t 1

1

(1  r) ^t

_{1 } ¹

_{(1  r)} ⁿ

_

^r

_ ¹ _

^r

1

r(1  r) ⁿ

(22)

_PVA

_{P } ⁿ

^PVIFA_{r , n}

(23)

Последовательность определения будущей стоимости обязательного аннуитета

представлена на рис. 4.

0 1 2 …. n-1 n

_{P P P P период времени (t)}

Р*(1+r)¹

P*(1+r)^n-2

_P*(1+r)^n-1

FVAD

_P*(1+r)

Рис. 4. Схема подсчета будущей стоимости обязательного аннуитета, продолжающегося в течение n-

периодов, при ставке процента, равной r

В математическом исчислении показатель будущей стоимости обязательного аннуитета определяется по формуле:

FVAD = P * FVIFA * (1+r) (25)

NPV (NET PRESENT VALUE – чистый приведенный эффект, чистая текущая стоимость проекта), чистая текущая стоимость проекта, чистый дисконтированный доход.

В ходе использования данного показателя необходимо придерживаться следующих правил принятия инвестиционных решении:

 если результат NPV положительный, то можно осуществлять капиталовложения,

 если он отрицательный, то от такого проекта следует отказаться;

 если представленные проекты являются альтернативными

(взаимоисключающими), следует принимать проект с наибольшим значением

NPV;

 если необходимо сформировать из списка возможных капиталовложении портфель инвестиций, одобрению подлежит комбинация проектов с наибольшим общим значением NPV.

Срок окупаемости инвестиций (PР, DPР) — определяет продолжительность периода времени, необходимого для возмещения инвестиционных затрат из чистых денежных потоков.

Срок окупаемости иногда называют сроком возмещения или возврата инвестиционных затрат.

Для определения величины срока окупаемости рассчитывают период, за пределами которого интегральный эффект становится неотрицательным (NPV>0).

Правила, связанные с РР в инвестиционном анализе, следующие:

1) проекты со сроком окупаемости, меньшем, чем установленный инвесторами (или хозяйствующим субъектом) нормативный промежуток времени, принимаются. В качестве нормативного промежутка времени может выступать срок возврата основной суммы долга и процентной суммы, установленный банком по выданному коммерческой организации инвестиционному кредиту;

2) с большим сроком окупаемости - отвергаются;

3) из нескольких взаимоисключающих проектов следует принимать проект с меньшим значением срока окупаемости.

Наиболее распространенным среди дисконтных показателей является внутренняя норма рентабельности (IRR). IRR – internal rate of return – внутренняя норма рентабельности.

Данный показатель представляет собой процентную ставку r, которая делает текущую стоимость проектных денежных потоков равной начальным

инвестиционным затратам.

Следовательно, IRR приравнивает проектную NPV к нулю.