Тестовые задания

1. Плотность распределения случайной величины обладает свойствами:

1. 

2. 

3. 

4. 

2. Следующая функция может быть плотностью распределения случайной величины

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

3. Если имеет распределение задаваемое таблицей , то дисперсию можно вычислить по формуле

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

4. Случайная величина имеет абсолютно – непрерывное распределение с плотностью . Тогда можно вычислить по формуле

   1. ;

   2. ;

   3. ;

   4. .

5. Если случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , то верно равенство

   1. 

   2. 

   3. 

   4. 

6. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда выполняется равенство

a) ; б) ; в) ; г) .

7. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда выполняется равенство

a) ; б) ; в) ; г) .

8. Плотность распределения случайной величины имеет вид . Тогда верны равенства

a) ; б) ; в) ; г) .

9. Плотность распределения нормальной случайной величины имеет вид Тогда верны равенства

a) ; б) ; в) ; г) .

10. Если случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , а случайная величина - показательное распределение с параметром , то верно равенство

a) ; б) ; в) ; г) .

Ответы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
б	а	г	в	в	а	г	г	в	а

Модуль 4. Тема 1(10). Функция распределения случайной величины, ее свойства.

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция, определяемая формулой .

Теорема. Функция распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

1. .

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. (то есть функция распределения является непрерывной слева);

7. Если - абсолютно непрерывно, и - плотность распределения, то .

8. Если - абсолютно непрерывно, - функция распределения, - плотность распределения, то во всех точках непрерывности справедливо равенство .

Предварительно сформулируем (без доказательства) следующую лемму.

Лемма. Если события образуют возрастающую последовательность, то есть и , то . Если события образуют убывающую последовательность, то есть и ,то .

Вернемся к доказательству теоремы.

1. Если , то . Следовательно, , то есть .

2. .

3. Пусть . Тогда и .

4. 

.

5. 

.

6. .

7. Пусть - абсолютно непрерывно, - плотность распределения. Тогда .

8. Вытекает из 7).

Теорема доказана.

Пример 1.

Пусть имеет дискретное распределение, задаваемое таблицей: , где . Найти .

Рассмотрим значения функции распределения в каждом интервале, на которые разбивается числовая ось значениями случайной величины.

,

;

,

;

,

;

…

,

;

…

,

;

,

.

Т.о. получаем функцию распределения в виде

График функции распределения дискретной случайной величины.

Пусть случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью . Тогда

.

Пример 2.

Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке , т.е.

Подсчитаем .

Пусть , тогда ;

Пусть , тогда ;

Пусть , тогда

.

Получаем функцию распределения в виде

График функции распределения равномерно распределенной абсолютно-непрерывной случайной величины.

Пример 3.

Пусть случайная величина имеет показательное распределение с параметром , то есть выполняется равенство

Подсчитаем при . (Очевидно, что при ).

. Таким образом, получили: