Тема 2 (11). Случайные векторы.
Определение.
Борелевской
- алгеброй в пространстве
называется
- алгебра, порожденная классом всех
открытых параллелепипедов, т.е. множеств
вида
.
Данная
- алгебра обозначается
и множества из борелевской
- алгебры называются борелевскими
множествами. Таким образом будем
рассматривать измеримое пространство
.
Определение.
Пусть
- вероятностное пространство. Случайным
вектором называется отображение
,
обладающее свойством
.
Замечание.
Каждый случайный вектор
представляет собой упорядоченный набор
случайных величин:
.
Определение.
Пусть
- некоторый случайный вектор. Распределением
данного случайного вектора называется
отображение
,
удовлетворяющее равенством
,
.
Теорема.
Распределение
удовлетворяет аксиомам Колмогорова и,
следовательно, является вероятностью.
Теорему примем без доказательства.
Определение.
Распределение
случайного вектора
называется дискретным, если существует
такое не более чем счетное множество
для которого
.
Двумерный случайный
вектор обычно обозначается
.
Дискретное распределение двумерного
случайного вектора задается следующей
таблицей
- значения, которые
может принимать случайная величина
,
- значения которые может принимать
случайная величина
,
и
.
Определение.
Распределение
случайного вектора
называется абсолютно – непрерывным,
если существует такая измеримая функция
,
называемая плотностью распределения
для которой выполняется условие:
,
.
Теорема.
Плотность распределения
случайного вектора
обладает свойствами:
;
почти всюду.
Теорема.
Пусть случайный вектор
имеет абсолютно – непрерывное
распределение с плотностью
.
Тогда каждая компонента данного
случайного вектора также имеет абсолютно
– непрерывное распределение, причем
справедливы равенства:
Доказательство.
Если случайная
величина
имеет абсолютно-непрерывное распределение
с плотностью
,
то выполняется условие:
,
.
Подсчитаем
(*)
(*) означает, что имеет абсолютно-непрерывное распределение и . Второе равенство доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Теорема.
Пусть случайный вектор
имеет абсолютно-непрерывное распределение
с плотностью
.
Тогда для того чтобы случайные величины
и
были независимы необходимо и достаточно
выполнение условия:
.
Доказательство.
и
независимы
,
.
Предположим, что
.
Подсчитаем
.
Теорема доказана.
Теорема.
Если случайная величина
имеет абсолютно-непрерывное распределение
с плотностью
,
а случайная величина
имеет абсолютно-непрерывное распределение
с плотностью
и случайные величины
и
независимы, то
+
также имеет абсолютно-непрерывное
распределение, плотность которого
выражается равенством:
.
Данная формула называется формулой свертки или композицией распределений (приводится без доказательства).
Тема 3 (12). Характеристические функции. Центральная предельная теорема.
Определение.
Пусть
случайная величина обозначается
и определяется равенством:
,
.
Теорема. Характеристическая функция обладает следующими свойствами:
;
;Если , то
;Если
- независимы, то выполняется равенство:
Пусть у характеристической функции существуют производные до порядка
включительно. Тогда
выполняется равенство:
.
Доказательство.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
- независимы
тоже
независимы.
Докажем для случая когда случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью .
;
;
;
;
;
;
.
Теорема доказана.
Теорема. Если у двух случайных величин совпадают характеристические функции, то распределения данных случайных величин также совпадают.
Замечание.
Если случайная величина
имеет дискретное распределение задаваемое
таблицей
,
то характеристическую функцию данной
случайной величины можно вычислять по
формуле:
.
Пример. Вычислим характеристическую функцию для распределения Пуассона с параметром .
,
.
.
Т.е. для распределения
Пуассона
.
Пусть имеем распределение Пуассона с параметром . Вычислим и .
;
;
;
;
.
Теорема.
Пусть случайная величина
имеет распределение Пуассона с параметром
,
случайная величина
имеет распределение Пуассона с параметром
и случайные величины
+
имеет распределение Пуассона с параметром
.
Доказательство 1.
Рассмотрим
Доказательство 2.
;
;
,
получили характеристическую функцию
распределения Пуассона с параметром
.
Т.о + имеет распределение Пуассона с параметром .
Теорема доказана.
Замечание. Если случайная величина имеет абсолютно-непрерывное распределение с плотностью , то выполняется равенство
.
Пример.
Пусть случайная величина
имеет нормальное распределение с
параметрами
.
Подсчитаем
.
,
тогда
=
Рассмотрим показатель
;
Обозначим
(т.к.
- интеграл Пуассона) =
.
Т.о.
.
Пусть имеет нормальное распределение с параметрами . Подсчитаем и .
;
.
;
.
.
Теорема.
Если случайная величина
имеет нормальное распределение с
параметрами
и
,
то случайная величина
имеет нормальное распределение с
параметрами
.
Доказательство.
Если
имеет нормальное распределение с
параметрами
,
то
и тогда
.
Если
,
то
.
Теорема доказана.
Замечание.
Пусть случайная величина
имеет нормальное распределение с
параметрами
,
а
имеет нормальное распределение с
параметрами
.
Тогда плотности распределения случайных
величин
и
равны
,
.
Тогда по формуле свертки
.
Теорема.
Пусть случайная величина
имеет нормальное распределение с
параметрами
,
а
имеет нормальное распределение с
параметрами
и случайные величины
и
независимы, тогда
+
имеет нормальное распределение с
параметрами
.
Доказательство.
Выпишем характеристические функции данных случайных величин
,
.
,
т.е. получили характеристическую функцию
для суммы
+
с параметрами
.
Теорема доказана.
Центральная предельная теорема. Теорема Муавра - Лапласа.
Центральная
предельная теорема.
Пусть
последовательность независимых случайных
величин, у каждой из которых существует
,
.
Обозначим
,
,
.
Тогда при выполнении условия:
,
при
справедливо соотношение:
при
и равномерно по
.
Замечание.
Поскольку
,
,
то
,
а
и тогда
.
Т.о. слева в утверждении теоремы находится
функция распределения нормированных
сумм независимых случайных величин.
Если
имеет нормальное распределение с
параметрами
,
то
.
Если
имеет нормальное распределение с
параметрами
,
то
,
а
.
Т.о. справа в утверждении теоремы находится функция распределения случайной величины имеющей нормальное распределение с параметрами . Т.о. в центральной предельной теореме (ЦПТ) утверждается, что распределение последовательности нормированных сумм независимых случайных величин сходится к стандартному нормальному распределению.
Применение ЦПТ.
Пусть дана
последовательность случайных величин
,
удовлетворяющая условиям теоремы, и
пусть требуется вычислить вероятность
того, что
.
Имеем
,
где
,
- функция Лапласа. (Функция Лапласа
обладает свойствами
,
,
).
Следствие (Теорема Муавра-Лапласа).
Пусть дана последовательность - испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов» в последовательности n-испытаний Бернулли. Тогда справедливо:
при n→∞
равномерно по x
Доказательство.
Определяем случайную
величину
равенством:
Тогда
имеет распределение
,
и
,
Тогда воспользуемся ЦПТ при:
Проверим выполнение условия:
Заметим, что
Тогда
при
.
Т.о. условие ЦПТ
выполняется и следовательно справедливо
утверждение ЦПТ. Тогда
при
равномерно по
.
Теорема доказана.
Применение теоремы Муавра-Лапласа.
Пусть проводятся - испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Пусть – количество «успехов». Имеем
.