Модуль 2. Тема 1 (4). Независимость случайных величин.

Определение. Случайные величины и называются независимыми, если для любых числовых множеств и события и являются независимыми, то есть выполняется равенство

Определение. Случайные величины называются независимыми в совокупности, если для любых числовых множеств события являются независимыми в совокупности.

Теорема. (Критерий независимости случайных величин).

Пусть распределение случайной величины задается таблицей , а случайной величины - таблицей ,

где при всех , при всех . Тогда для того, чтобы случайные величины и были независимы, необходимо и достаточно выполнения условия Доказательство.

Необходимость. Пусть и независимы, то есть выполняется условие . Тогда, взяв в качестве одноточечное подмножество , а в качестве одноточечное подмножество , получим требуемое равенство .

Достаточность. Предположим, что выполняется условие и докажем независимость, то есть выполнение условия . Имеем:

что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть и - независимые случайные величины, и - некоторые функции. Тогда случайные величины и также являются независимыми.

Доказательство.

Нужно доказать выполнение условия

.

Имеем: что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть и - независимые случайные величины. Тогда справедливы равенства:

Доказательство.

Пусть и - независимые случайные величины.

Докажем равенство . Имеем:

Докажем равенство

Для этого достаточно доказать, что если и независимы, то . Но если и независимы, то и также независимы. Тогда имеем: ,

что и доказывает наше утверждение.

Доказательство теоремы завершено.

Определение. Коэффициент корреляции случайных величин и обозначается и определяется равенством

.

Теорема. Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1. ,

2. Если и независимы, то ,

3. .

Доказательство.

1) Введем случайные величины и .

Имеем: ;

,

.

Получаем:

;

.

Следовательно, , и первое утверждение теоремы доказано.

2) Если и независимы, то и, следовательно, выполняется равенство .

3) Пусть с вероятностью 1, .

Тогда имеем: ,

,

Обратное утверждение примем без доказательства.

Доказательство теоремы завершено.

Тема 2 (5). Распределения Бернулли и Пуассона.

Определение. Последовательностью испытаний Бернулли называется последовательность независимых испытаний, каждое из которых имеет два исхода («успех» и «неудача»), причем вероятность «успеха» не изменяется от испытания к испытанию.

Замечание. Построим вероятностное пространство, соответствующее испытаниям Бернулли. Пусть - количество испытаний, - вероятность «успеха» в одном испытании. При всех положим , , . Определим вероятностное пространство соотношениями , ,где - количество «успехов» в последовательности испытаний Бернулли.

При всех вычислим . Имеем:

, где , .

Таким образом, получили равенство , называемое формулой Бернулли.

Пример. Производится 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при пяти выстрелах будет ровно три попадания.

Решение. Здесь испытанием является выстрел по мишени, «успехом» - попадание. Таким образом, , , . Имеем: .

Теорема. Если - количество «успехов» в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в одном испытании, то выполняются равенства , .

Доказательство.

При всех определим случайную величину равенством

Тогда . Случайные величины независимы, и распределение каждой из них задается таблицей , . Тогда имеем: , , , . , , что и требовалось доказать.

Определение. Будем говорить, что случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами , , где - натуральное, , если ее распределение задается следующей таблицей: , где при всех .

Замечание. Если случайная величина имеет распределение Бернулли с параметрами , , то выполняются равенства , .

Замечание. При больших вычисления по формуле Бернулли достаточно трудоемки. Поэтому используют различные приближенные формулы. Одну из них дает следующая теорема.

Теорема Пуассона. Пусть имеется последовательность серий испытаний Бернулли. В первой серии одно испытание, вероятность «успеха» , количество «успехов» ; во второй серии два испытания, вероятность «успеха» , количество «успехов» ; в -й серии испытаний, вероятность «успеха» , количество «успехов» и так далее. Тогда, если выполняются условия , , то справедливо равенство .

Доказательство.

С использованием формулы Бернулли имеем:

Здесь использовался тот факт, что равенство влечет за собой соотношение , где .

Выполняются условия: ,

, .

Подставляя эти выражения в полученное равенство, получаем , что и требовалось доказать.

Замечание. Пусть - количество «успехов» в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании. Тогда при больших и малых справедливо приближенное равенство , где , называемое формулой Пуассона.

Пример. Пусть , , . Тогда , .

Определение. Будем говорить, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если ее распределение задается следующей таблицей: , где при всех .

Теорема. Пусть случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром . Тогда справедливы равенства , .

Доказательство.

Имеем: .

Итак, равенство доказано. Равенство примем без доказательства.