Модуль 1. Тема 1 (1). Конечное вероятностное пространство.

Теория вероятностей изучает математические модели случайных экспериментов, то есть таких экспериментов, исход которых не определяется однозначно условиями опыта. Типичным примером случайного эксперимента является бросание монеты: монета может упасть либо кверху гербом, либо кверху цифрой. Теория вероятностей имеет дело не с любыми случайными экспериментами, а лишь с экспериментами, обладающими свойствами статистической устойчивости, или устойчивости частот. Так, при большом числе независимых подбрасываний правильной монеты частота выпадения герба будет близка к . Однако в современной математической теории вероятностей оставляют в стороне проблему статистической устойчивости и рассматривают математическую модель, в которой отражены все возможные исходы эксперимента и считаются известными связанные с данным экспериментом вероятности. Наиболее простой вид эта модель имеет в случае, когда множество возможных исходов эксперимента конечно.

Определение. Множеством элементарных исходов некоторого случайного эксперимента называется множество .

Пример. Пусть эксперимент состоит в однократном подбрасывании шестигранного кубика, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. Множество элементарных исходов в данном случае имеет вид .

Определение. Событием называется любое подмножество множества элементарных исходов. События будем обозначать буквами A,B,C…с индексом или без.

Если имеется некоторое «событие» в интуитивном смысле этого слова , связанное со случайным экспериментом, то в теорико - вероятностной модели ему будет соответствовать подмножество тех элементарных исходов, при которых данное «событие» (в интуитивном смысле) осуществляется.

Так, с нашим примером (с бросанием кубика) связаны следующие «события»:

- «количество выпавших очков чётно»,

- «количество выпавших очков не превосходит 4».

В теоретико-вероятностной модели им соответствуют события:

С помощью теоретико-множественных операций из одних событий можно получать другие.

Определение. Событие, противоположное событию , обозначается и определяется равенством . Читается « ».

Определение. Пересечение событий и обозначается и определяется равенством ∩ . Читается « и ».

Определение. Объединение событий и обозначается и определяется равенством . Читается « или ».

В нашем примере с бросанием кубика («количество выпавших очков нечётно»)

(«количество выпавших очков четно и не превосходит 4»)

(«количество выпавших очков четно или не превосходит 4»)

Напомним известные свойства теоретико-множественных операций, которые мы в дальнейшем будем использовать без специальных оговорок.

Ø, ∩ =Ø,

Ø = Ø, Ø = ,

.

Определение. События и называются несовместными, если выполняется равенство ∩ =Ø.

Определение. Пусть - множество элементарных исходов. Вероятностью элементарных исходов называется отображение множества элементарных исходов в множество действительных чисел , обладающее свойствами

.

Таким образом, каждому элементарному исходу сопоставляется число , называемое вероятностью данного элементарного исхода.

Замечание. Если все элементарные исходы равновозможны и их количество равно , то вероятность каждого элементарного исхода определяется равенством .

Пример. В примере подбрасывания кубика, если кубик симметричный, выполняется равенство .

Определение. Конечным вероятностным пространством называется пара , где - конечное множество элементарных исходов, - вероятность элементарных исходов.

Определение. Пусть задано вероятностное пространство . Тогда вероятность любого события обозначается и определяется равенством .

В нашем примере ,

.

Теорема. Вероятность события обладает следующими свойствами:

1). Ø) = 0, ,

2). ,

3). ,

4). ,

5). Ø ,

6). .

Доказательство.

1). Ø) = .

2). Пусть Тогда верны соотношения .

3). Поскольку , то из 2). , а из 1). .

4). Справедлива цепочка равенств

.

5). Если , то и .

6). Так как и , то верны соотношения , откуда вытекает равенство .

Замечание. Если все элементарные исходы равновозможны, то вероятность любого события можно вычислять по формуле , где -общее количество элементарных исходов, а - количество элементов множества . Данное равенство называется классическим определением вероятности. Словесно оно формулируется следующим образом: «Вероятность любого события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению данного события, к общему числу элементарных исходов».

В нашем примере