Лекция 2. Методы интегрирования в неопределенном интеграле

Непосредственное интегрирование

Основное содержание различных методов нахождения интегралов состоит в сведении искомого интеграла к табличному или сумме таб­личных. В простейших случаях это удается сделать, используя лишь эквивалентные преобразования подынтегральной функции и, если необходимо, свойства неопределенного интеграла.

Интегрирование, основанное на применении свойств интеграла называется непосредственным или интегрированием методом разложения.

Метод замены переменной

Пусть — функция, непрерывно дифференцируемая на рассматриваемом промежутке. Тогда

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

В простых примерах новую переменную часто не выписывают яв­но. В этих случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала. При этом следует учитывать, что, например,

где к и b — некоторые числа (к 0).

Метод интегрирования по частям

Пусть и = и(х) и v - v{x) — непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула:

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Интегрирование рациональных выражений

Рассмотрим способы нахождения интегралов вида х, где Р(х) и Q(x) — некоторые многочлены от переменной х.

Простейшие интегралы такого вида отнесены к табличным.

Рассмотрим подход к интегрированию рациональных функций в общем случае. Будем предполагать, что дробь P(x)/Q(x) — правильная, т.е. степень числителя Р(х) меньше степени знаменателя Q(x).

Пусть знаменатель Q(x) допускает разложение на линейные множители:

где а а при i j и kx,...,kt — положительные целые числа.

В этом случае дробь P(x)/Q(x) допускает представление в виде сум­мы простейших дробей:

- +

+ ... + ■ ,

где А_п, А₁₂,..., А_1к — некоторые неизвестные числа. Поэтому рассматриваемый метод интегрирования называется методом неопределенных коэффициентов.

Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Простейшие интегралы от функций, содержащие иррациональности, являются табличными либо сводятся к табличным с использованием свойств интеграла и (или) за­мены переменной. В более сложных случаях основной подход состоит в сведении искомого интеграла к интегралу от рациональной функции с помощью подходящей замены переменной (так называемая рационализация интеграла).

Интегралы вида

где R — рациональная функция, находятся с помощью подстановок x = asint,, x-atgt, x= соответственно.

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида dx (где R — рациональная функция) допускают рационализацию с помощью универсальной подста­новки t = tg , где - ; < х < . Тогда

sinx= , cosx= , dx-

Лекция 3. Определенный интеграл

Пусть функция f(x)определена на отрезке [a;b] . Внутри отрезка возьмем n последовательных точек x₁, x₂, . . . x_n (рис. 1).

Рис. 1

Обозначим a = x_o, b = x_n+1 . Весь отрезок разобьется на (n + 1) частичных промежутков. В каждом промежутке возьмем по точке

 

Найдем значения функции     и длины промежутков h₁ = x₁ - x_o, ..., h_n+1 = x_n+1 - x_n.

Составим сумму     которая называется интегральной суммой. Обозначим через h длину наибольшего промежутка, т.е. h = maxh_i . Устремим n к бесконечности так, чтобы h стремилось к нулю.

Конечный предел последовательности S_n (если он существует) при h → 0 , который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на n + 1 промежутков, ни от выбора точек ξ₁, ..., ξ_n+1 , называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается    

Функция f(x) называется интегрируемой функцией, число a называется нижним пределом интегрирования, число b называется верхним пределом интегрирования, отрезок [a,b] - отрезком интегрирования.

Непрерывная на отрезке [a,b] функция является интегрируемой на [a,b] .