12. Сплайн-функция, её применение для описания систем.

Они определяют так называемое одностороннее преобразование Фурье. Ряд его свойств совпадает со свойствами двустороннего преобразования Фурье. Так, как сохраняют силу свойства линейности, соотношения для изображения запаздывающего сигнала 

Линейность. Интегралы

осуществляют линейное преобразование функции f(t). Поэтому Фурье-изображение линейной комбинации функций равно аналогичной линейной комбинации их изображений. Если f(t) = a1f1(t) + a2f2(t), то F(jw) = a1F1(jw) + a2F2(jw), где F1(jw) и F2(jw) — Фурье-изображения сигналов f1(t) и f2(t), соответственно.

Поскольку частотный метод применяют преимущественно к цепям сложной структуры, для которых передаточную функцию, в частности, можно определить экспериментально, обратное преобразование Фурье обычно находят численным интегрированием. В этом случае целесообразно перейти от комплексной формы интеграла (19.2) к вещественной форме. Свойства четности вещественной части Fв и модуля F спектральной плотности F(±  jw) = Fв(w) ±  jFм(w) = F(w)e±jj(w) и нечетности мнимой части Fм и аргумента j(w) позволяют привести интеграл обратного преобразования к вещественной форме

.

Рассмотрим далее выражение для выходного сигнала f при ±  t, то есть при t > 0 и t < 0. Из последнего интеграла получим

Так как при t < 0 f(t) = 0, из полученного выражения следует, что для одностороннего преобразования Фурье имеем

,

15.Амплитудный и фазовый спектр сигнала.

16 Непрерывное преобразование Лапласса.

Анализ процессов в системах связян с определением изменений во времени величины, отражающих внутреннее состояние и/или выходы систем. При аналитическом исследовании таких процессов приходится решать дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и/или разностные уравнений. Решение таких уравнений значительно упрощается при преобразовании исходных уравнений с помощью операционного исчисления.

Наибольшое применение получило преобразование Лапласа. Оно связывает оригинал функции х(t) с его операторным изображением x(s) прямым преобразованием:

И обратным преобразованием:

Связь оригинала и изображения часто для краткости обозначается как:

Условия существования преобразования лапалсса:

Эти условия обеспечивают сходимость интеграла в прямом преобразовании Лапласса. Для его абсолютной и равномерной сходимости требуется, что бы интегральные выражения

При имели предел. В этомслучае изображение x(s) в части плоскости S, где Re(S) > σ₀, может быть предсталвено аналитической функцией.

Наименьшее значение σ₀, при котором выполняется указанное условие, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа.

Если преобразуемая функция x(t) такова, что существует, то σ₀ = 0.

Односторонне преобразовние Лапласа удобно для решения задач анализа переходных процесов, т.к. всегда есть возможность выбрать за начало отсчета момент начала самого переходного процесса. Тогда нет нужды рассматривать процессы при t< 0.

Дискретноепреобразвание Лапласа.

Для решетчатой функции x[nT] прямое (одностороннее) дискретное преобразовние Лапласа (D-преобразование) выполняется по формуле:

При T -> 0 оно преобразуется в аналогичную формулу для непрерывных функций.

Обратное D-преобразование:

Однако в теории дискретных систем чаще используется z-преобразование, получаемое из D-преобразования с помощью замены:

Тогда прямое z-преобразование:

И обратное:

Интегрирование ведется в плоскости z по окружности радиуса , центр которой совпадает с началом координат этой плоскости.

Перечислим некоторые свойства z-преобразования. Пусть , a_i – постоянные вещественные числа, i – натуральные числа. Тогда имеют место:

1. Теорема суммирования и вычитания

2. Теорема линейности.

3. Теорема о начальном значении.

4. Теорема о конечном значении:

5. Теорма о смещении в области оригиналов. Если , то справедливо:

6. Теорема о смещении в области изображений.

Пусть θ = const. Тогда:

7. Теорема о суммах решетчатых функций:

8. Теоремы об изображении конечных разностей:

Весь этот анальный кошмар математический аппарат необходим для того, что бы преобразовывать разностные уравнений в эквивалентные им операторные уравнения, которые являются алгебраическими относительно входящих в них изображений.

На практике для нахождения оригинала x[nT] по его изображению x(z) редко испольхуют формулу обратного z-преобразования. Чаще представляют x(z) в виде алгебраической суммы простых составляющих, для каждой составляющей определяют оригинал по таблицам z-преобразования, а затем полученные оригиналы суммируют.

В частности, x(z) часто имеет вид:

Тогда x(z) приравнивают ряду Лорана:

И тогда решетчутую функцию x[nT] определяют как:

Где функция Дирака:

В итоге получаем:

17. Условия для представления решетчатой функции в операторном виде.

Для операторного представления дискретных, квантованных по

времени переменных, описываемых решетчатыми функциями,

достаточно часто применяется дискретное преобразование Лапласа

В частности, для решетчатой функции x[nT]прямое (односто-

роннее) дискретное преобразование Лапласа (часто называемое также

D -преобразованием) выполняется по формуле:

Она в пределе при T →0 преобразуется в формулу прямого одно-

стороннего преобразования Лапласа для непрерывных функций.

Обратное дискретное преобразование Лапласа имеет вид:

Здесь σ 0 – абсцисса абсолютной сходимости интеграла .

В теории дискретных систем вместо дискретного преобразования

Лапласа, чаще используется так называемое z -преобразование. Оно получается из D –преобразования заменой вида:

В результате прямое z -преобразование для решетчатой функции

x[nT]определяется как:

Обратное z -преобразование несколько отличается от и имеет

следующий вид:

18 Бесконечнозначная логика

Вэтой логике и переменные исходные величины и результаты логических операций состоящих из операций коньюнкций, дизюнкций и отрицания, принимают значения на непрерывных конечных и бесконечных множествах.

19. Случайные величины. Связь между частотой и вероятностью события.

К случайным событиям (величинам) относят такие события (величины), точное предсказание протекания (значения) которых в каждом отдельном случае оказывается невозможным.

Если какое-либо событие в N опытах повторяется m раз, то величина m/N называется частотой события.

Предельное значение частоты события при числе экспериментов N∞ (стремится к бесконечности) называется вероятностью Pданного события, т.е.

lim(m/N)=P ; приN∞

Вероятность каждого события лежит в пределах от 0 до 1. Если событие является невозможным, то P=0, а если событие достоверно, то P=1.

20. Чем отличаются между собой дискретные и непрерывные случайные величины.

21Интегральный закон распределения случайной величины

Интегральный закон распределения –зависимость вероятности того, что случайная величина примет значение меньше каждого из возможных значений x в функции этих значений т.е зависимость типа F(x)=P( , где

Функция распределения является возрастающей функций своего аргумента и равна 0 при х меньшем, чем наименьшее его значение. При х большем и равном его наибольшему возможному значению функция распределения равна 1.

22. Математическое ожидание случайной величины и как оно определяется для дискретных и непреравных случайных величин

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения

случайной величины.

или

Обобщенным понятием среднего значения является выражение

23. Числовые характеристики случайной величины.

Для практики нужны простые усреднённые характеристики в виде обыкновенных неслучайных чисел. Одной из таких характеристик является среднее значение (математическое ожидание) случайной величины. Оно определяется как:

(3.6)

Для равновероятного закона распределения математическое ожидание

(3.7)

Для случайной величины, распределённой по закону Пуассона,

Обобщенным понятием среднего значения является выражение

(3.8)

которое называется моментом m-го порядка дискретной случайной величины.

Заметим также, что

(3.9)

Момент второго порядка

(3.10)

называют также средним квадратом случайной величины.

На практике часто используется так называемое среднеквадратичное значение случайной величины, которое определяют как

(3.11)

Обратимся теперь к характеристикам рассеяния дискретной случайной величины относительно ее среднего значения (математического ожидания).

Величину называют отклонением случайной величины от её среднего значения (оно также случайно) или центрированной случайной величиной.

Средним отклонением принято называть величину, определяемую как

(3.12)

Дисперсией дискретной случайной величины называется средний квадрат её отклонения от среднего значения, т. е.

(3.13)

где – средний квадрат случайной величины. Так как всегда выполняется неравенство

то дисперсия всегда является положительным числом.

Корень квадратный из дисперсии называют среднеквадратичным отклонением случайной величины от среднего значения

(3.14)

24. Как связаны между собой средний квадрат, дисперсия и среднеквадротичное отклонение у дискретной случайной величины.

Интегральным законом распределения или функцией распределения называется зависимость вероятности того, что случайная величина примет значение меньше каждого из возможных значений x в функции этих значений, т. е. зависимость типа

где ξ - текущее значение случайной величины.

Для характеристики случайной величины на практике нужны простые усредненные характеристики в виде обыкновенных не случайных чисел.

Одними из таких характеристик являются:

Момент второго порядка

называют также средним квадратом случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называется средний

квадрат её отклонения от среднего значения, т. е.

где – средний квадрат случайной величины.

Корень квадратный из дисперсии называют среднеквадратичным

отклонением случайной величины от среднего значения

25. Дифференциальный закон распределения непрерывной случайной величины

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в каком-либо заданном ограниченном интервале a ≤x ≤ b или во всем диапазоне от –∞ до ∞.

Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины есть непрерывная плавная кривая, «нарастающая» от 0 до 1, соответственно, на интервале

[a ,b].

Вероятность того, что непрерывная случайная величина содержится в промежутке от x до x +dx.

Величина

называется плотностью вероятностиили дифференциальным законом распределения случайной величины. Закон распределения для непрерывной случайной величины обычно задаётся определением аналитической или графической зависимости плотности вероятности w(x), как это показано на рис. 3.4.

вероятность принятия случайной величиной значений, содержащихся между X₁ и X₂

Вся площадь под кривой w(x) на всем интервале определения случайной величины x равна 1, так как вероятность того, что x будет иметь какое-либо значение в пределах этого интервала, принимается равной 1. Таким образом,

2 6.Плотность вероятности случайной величины

Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в каком-либо заданном ограниченном интервале А<x,Bили во всём диапазоне от –от минус бесконечности до бесконечности. Вероятность тогочто непрерывная случайная величина примет значение в промежутке x1<x<x2, конечна и равна

P(x1, x, x2)=А(x2)-А(x)

А вероятность тго, что примет определённое числовое значение xi, бм(=0).

Вероятность тго, что непрерывная случайная величина содержится в промежутке от xдо x+dx

P(x<ε<(x+dx))=dF(x)= *x

Гдевеличина =W(x) – плотность вероятности или дифференциальный закон распределения случайной величины.

27. Как определяется дисперсия, среднеквадратичное отклонение и момент n-ого порядка непрерывной случайной величины.