30Стационарный и нестационарные случайные величины

Стационарность:на протяжении всего отрезка времени математическое ожидание и дисперсия неизменны, а автокорреляционная функция зависит только от разности значений времени t1 и t2 и не зависит от времени начала и конца процесса.

Или проще говоря неизменность n-мерной плотности вероятности процесса.

Стационарным случайным процессом (случайной функцией) на-

зывается такой незатухающий процесс (функция), вероятностныехарак-

теристики которого не зависят от текущего значения аргумента (вре-

мени) t .

Главной особенностью таких процессов является постоянство

описывающих их статистических характеристик на всем интервале

изменения t . В частности, плотность вероятности стационарной случай-

ной функции x(t)

w(x, t)=w(x)=const .

аналогично

то есть двухмерная плотность вероятности не зависит от выбранных

значений t1 и t 2 , а зависит только от их разности τ =t 2 -t 1.

Более того, все плотности вероятностей у такого процесса не меня-

ются при любом одинаковом сдвиге рассматриваемых моментов

времени t1, t 2, t 3,.. ., t n , т. е. при сохранении постоянных разностей

между ними.

Постоянство плотностей вероятностей у стационарной случайной

функции приводит к постоянству во всем интервале изменения t её

математического ожидания

и дисперсии

Корреляционная функция такой случайной функции x (t)

31.Основные статистические характеристики случайных функций, обладающих свойством эргодичности

Стационарные случайные процессы обладают замечательным свой-

ствомэргодичности, согласно которому всякое среднее значение по

множеству реализаций равно соответствующему среднему значению по

времени. Это значит, что длительное наблюдение за отдельнойреализа-

цией даёт такие же результаты в среднем, как и большое число

наблюдений, сделанное в один и тот же момент времени на большом

числе однотипных объектов.Эргодичность — специальное свойство некоторых динамических систем, состоящее в том, что в процессе эволюции почти каждое состояние с определённой вероятностью проходит вблизи любого другого состояния системы.

Или проще говоря, Эргодический процесс – если параметры случайного процесса можно определить по одной бесконечной реализации.

В этой связи статистическая обработка

стационарных случайных функций существенно проще, не требует

большого числа наблюдений на однотипных объектах. Достаточно

одного длительного наблюдения на одном объекте для определения

всех интересующих исследователя статистических характеристик.

В частности, на основании свойства эргодичности, математическое

ожидание стационарной случайной функции x (t), ранее определенное

по множеству реализаций согласно, может быть определено так

же, как среднее по времени:

Дисперсия такой случайной функции может быть определена по

формуле

Существенно проще вычисляется на основе указанного свойства

эргодичности в этом случае и автокорреляционная функция. Для стационарной случайной функции x (t)

Аналогично определяется и взаимная корреляционная функция:

При определении статистических характеристик стационарных случайных функций на основе свойства эргодичности

время наблюдения T этой функции выбирается достаточно

большим, но конечным. При этом получают приближенные значения

искомых статистических характеристик, точность определения которых

будет тем выше, чем большее T будет использовано при статистической обработке.

Процесс определения таких характеристик может быть автоматизирован. В частности, для определения математического ожидания,

согласно, необходимо подать обрабатываемый сигнал x(t)на

интегратор и по прошествии достаточно длительного времени разделить

выходной сигнал интегратора на это время.

После нахождения математического ожидания m x сигнала x(t)

сравнительно несложно можно определить дисперсию этого сигнала.

Для этого нужно вначале центрировать случайный

процесс x(t), т. е. подать его на устройство, обеспечивающее непрерыв-

ное во времени вычитание из x(t)математического ожидания m x .

После этого полученный центрированный сигнал следует подать на

вход квадратора, а затем выход последнего – на вход интегратора. По

прошествии времени T0 , достаточного для определения дисперсии с требуемой точностью, следует выходной сигнал интегратора разделить на T0.