9Охарактеризувати класичне означення ймовірності

Нехай простір елементарних подій є скінченною множиною

тобто є лише N можливих результатів випробування, отже, множина Ω є повною групою всіх попарно несумісних результатів випробування.

Вважатимемо додатково, що всі елементарні події рівноможливі, тобто з міркувань симетрії або якихось інших випливає, що нема об’єктивних причин вважати одну з елементарних подій більш імовірною порівняно з іншими. Наприклад, якщо експеримент полягає в одноразовому киданні грального кубика правильної форми, виготовленого з однорідного матеріалу, то всі 6 результатів цього випробування природно вважати рівноможливими.

Класичне означення ймовірності формулюють для подій, які є підмножинами множини Ω. Якщо де

то ймовірність події А визначають за формулою:

(1)

де N(A) – кількість елементів множини А.

Отже, ймовірністю події А називається відношення кількості сприятливих для події А елементарних подій до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування.

Визначена за формулою (1) функція Р(А) задовольняє всі аксіоми теорії ймовірностей. З формули (1) випливає, що ймовірність кожної елементарної події рівна

(2)

Отож класична схема означення ймовірності може служити моделлю тих випадкових явищ, для яких є природним припущення (2).

Приклад. Знайти ймовірність того, що кількість очок, яка випаде при одноразовому киданні кубика, буде а) парною (подія А); б) кратною трьом (подія В).

Розв’язання.

10 Охарактеризувати відносну частоту

Відносна частота події А - це таке відношення: , де   - кількість разів, коли подія А відбулася, а   - загальна кількість експериментів.

Властивості частоти:

1. 

2. 

3. 

4.  за умови, що А і В несумісні

11 Охарактеризувати статистичну ймовірність

За класичним означенням ймовірність появи події шукають не проводячи ніяких дослідів, виходячи з теоретичних міркувань. На практиці часто доводиться мати справу iз статистичною ймовірністю. Її часто називають відносною частотою появи події i позначають

Р =  ,

де m ‑ кількість випробувань, в яких подія А з'явилась,

n ‑ загальна кількість випробувань.

В дослідах статистична ймовірність коливається в околі деякого постійного числа, змінюючись мало, причому тим менше, чим більше проведено дослідів. Ця стала отримала назву класичної ймовірнocтi. Для існування статистичної iмовірнocтi необхідно:

1) мати можливість провести необхідну кількість випробувань, в кожному з яких подія А настане або нi;

2) наявність стійкості відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

Статистична ймовірність (the statistical probability) має властивості:

1) Р(А) 0 це очевидно, оскільки m 0;

2) для вірогідної події  ;

3) якщо події А і В несумісні, то статистична імовірність події С=А+В дорівнює сумі статистичних ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Легко бачити, що формулою (1) можна користуватись лише у випадку скінченних m i n. Якщо m і nнескінченні, то класична імовірність вводиться аксіоматично. Класичною імовірністю Р(А) події А, яка визначається простором елементарних подій  , називається числова функція, яка задовольняє такі умови:

1) Р(А) ;

2)  ;

3) для несумісних подій А і В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).