12 Охарактеризувати теорему для додавання несумісних подій та сумісних подій

Теорема додавання сумісних подій

Сумою 2-х сумісних подій називають подію, що складається з появи або події A, або події B, або обох їх одразу (одночасно).

Теорема. Імовірність суми 2-х сумісних подій дорівнює сумі імовірностей цих подій без урахування їх спільної появи:

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(AB)

Доведення:

A+B=AB+AB+AB (сума несумісних пар)

Тоді p(A+B)=p(AB)+p(AB)+p(AB)

Подія A=AB+AB,

Подія B=AB+AB

p(A+B)=p(A)−p(AB)+p(B)−p(AB)+p(AB)=p(A)+p(B)−p(AB)

Заувага: в цій теоремі може існувати 2 різні ситуації.

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B), де A і B - незалежні;

p(A+B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B/A), де A і B - залежні;

У теорії імовірностей розрізняють прості і складені події. Наприклад,

під час кидання костей у сумі випало 2 очка – це проста подія.

Подія називається складеною, якщо поява її залежить від появи інших,

простих подій. Наприклад, під час кидання двох гральних кубиків у сумі

випало 10 очок. Ця подія є складеною, бо вона може складатися з трьох

простих подій:

на першому кубику випало 4, на 2-ому 6 очок;

2) на першому і на 2-ому випало по 5 очок;

Їх імовірності обчислюють через імовірності простих подій, в яких

складаються складені. Таке обчислення спирається на застосування теорем

додавання і множення несумісних однаково можливих подій, які утворюють

повну групу, тобто елементарних подій. Теореми додавання і множення

доведені для елементарних подій, а для інших, які не належать до

елементарних подій, (а для інших які не належать до) ці теореми

приймаються без доведення, тобто постулюються.

Теорема: Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі

іморвіностей цих подій, тобто

Р(А+В) = Р(А)+Р(В)

Сумою подій А і В називає подія С, яка полягає у здійсненні під час

одиничного випробування або подій А, або події В, або обох разом.

13 Охарактеризувати умовні ймовірності та незалежні події

Умо́вна ймові́рність — ймовірність однієї події за умови, що інша подія вже відбулася.

Нехай   — фіксований ймовірнісний простір. Нехай   дві випадкової події, причому  . Тоді умовною ймовірністю події   при умові події   називається

Властивості

• Прямо з визначення очевидно випливає, що

• Якщо  , то умовна ймовірність, строго кажучи, не визначена. Проте іноді умовляються вважати її в цьому випадку рівною нулю .

• Умовна ймовірність є ймовірністю, тобто функція  , задана формулою

задовольняє всім аксіомам імовірнісної міри.

У теорії ймовірностей дві випадкові події називаються незалежними, якщо настання однієї з них не змінює вірогідність настання іншої. Аналогічно, дві випадкові величини називаютьнезалежними якщо значення однієї з них не впливає на розподіл значень іншої.

[Ред.]Незалежні події

Вважатимемо, що дано фіксований ймовірнісний простір  .

Означення 1. Дві події   називають незалежними, якщо

.

Зауваження 1. В тому випадку, якщо ймовірність однієї події, скажемо   ненульова, тобто  , визначення незалежності еквівалентне:

,

тобто умовна ймовірність події   за умови   дорівнює безумовній вірогідності події  .

Означення 2. Нехай є сімейство (скінченне або нескінченне) випадкових подій  , де   — довільна індексна безліч. Тоді ці події є попарно незалежними, якщо будь-які дві події з цього сімейства незалежні, тобто

.

Означення 3. Нехай є сімейство (скінчене або нескінчене) випадкових подій  . Тоді ці події сукупно незалежні, якщо для будь-якого кінцевого набору цих подій   вірно:

.