3. Движение по криволинейной траектории. Тангенциальное и нормальное ускорения.

 

П ерейдем к криволинейному движению МТ. Положение движущейся точки на траектории задается радиус-вектором , проведенным в эту точку из начала координат O. В момент времени t МТ имеет радиус-вектор . Через короткое время  МТ переместилась в положение с радиус-вектором .  Вектор  называется перемещением. Отношение этого вектора к изменению времени называется средней скоростью движения за время между t и :

 

 

Предел средней скорости при , т.е. производная радиус-вектора  по времени

                                                                                                                                                                  

называется мгновенной скоростью МТ. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории движущейся точки.

Совершенно аналогично определяется ускорение при криволинейном движении. Ускорением  называется вектор, равный первой производной вектора скорости  или второй производной радиус-вектора  по времени:

Вектор ускорения в общем случае имеет две составляющие: по касательной и перпендикулярно к касательной. Представим вектор скорости в виде , где  - единичный вектор касательной к траектории, указывающий направление скорости. Продифференцируем по времени эту формулу.

Величина R является радиусом окружности, которая приближает траекторию в малой окрестности рассматриваемой точки и называется радиусом кривизны, а единичный вектор  перпендикулярен к траектории в сторону центра окружности (центр кривизны)  Таким образом, ускорение на криволинейной траектории представимо в виде:

Первый член в этой сумме ответственен за изменение величины скорости и называется тангенциальным ускорением , а второй – за изменение направления скорости и называется нормальным ускорением .

4. Кинематика твердого тела. Поступательное движение твердого тела. Вращение тела вокруг неподвижной оси. Угловая скорость вращения. Вектор угловой скорости. Угловое ускорение.

 Основными движениями твердого тела являются поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

1. Поступательное движение - это такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, все время остается параллельной своему начальному положению. При поступательном движении все точки твердого тела совершают за один и тот же промежуток времени равные перемещения. Отсюда скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Следовательно, при таком движении твердого тела достаточно рассмотреть зависимость от времени радиус-вектора любой точки.

2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси – это движение, при котором одна единственная прямая, связанная с телом, остается неподвижной при движении. Эта прямая и является неподвижной осью, вокруг которой вращаются все точки тела.

П усть твердое тело, вращаясь вокруг неподвижной отсчета оси OA с угловой скоростью ω , Возьмем какую-либо произвольную точку этого тела M, отстоящую от оси вращения на расстояние r.Линейная и угловая скорости точки M связаны соотношением  

Если тело участвует в двух вращательных движениях, то соответствующие угловые скорости можно складывать. Получившаяся угловая скорость направлена по мгновенной оси вращения тела.

Рассмотрим, наконец, сложение поступательного и вращательного движений. Если поступательное движение совершается параллельно оси вращения, то при сложении, очевидно, получится винтовое движение. Рассмотрим случай, когда поступательное движение перпендикулярно к оси вращения. В этом случае все точки тела будут двигаться параллельно одной и той же плоскости, перпендикулярной к той же оси. Такое движение называется плоским. Задача сводится к определению положения мгновенной оси и угловой скорости мгновенного вращения.

Угловая скорость и угловое ускорение

П о аналогии с линей скоростью и ускорением вводятся и угловая скорость и угловое ускорение. Рассмотрим движение МТ по окружности. Положение точки на окружности можно задать углом α, который образует радиус-вектор с каким-либо неизменным направлением. Производная этого угла по времени называется угловой скоростью. Угловая скорость называется также угловой частотой вращения. Величина   дает число оборотов в единицу времени и называется частотой обращения. Величина  есть продолжительность одного обращения и называется периодом вращения.

Первая производная угловой скорости или вторая производная угла по времени называется угловым ускорением: .;

Если  означает длину дуги окружности, то ее производные   дают линейную скорость и линейное ускорение при движении точки по окружности. Если r— радиус окружности, то s=ra. Дифференцируя это соотношение по времени, находим