7. Третий закон Ньютона. Формулирование задачи движения n материальных точек. Начальные условия.

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих МТ. В этом случае справедлив закон сохранения импульса: p₁+p₂=const

Дифференцируя это уравнение по времени и использовав второй закон Ньютона, получим: F₁=-F₂

Где F₁ и F₂ — силы, с которыми рассматриваемые МТ действуют друг на друга. Привлечем опытный факт, согласно которому силы F₁ и F₂ направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точки. Тогда мы приходим к третьему закону Ньютона:

Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти материальные точки.

2. Аналогично, можно сформулировать третий закон Ньютона для множества МТ. Для этого рассматриваются отдельно силы взаимодействия отдельных точек друг с другом. Пусть F_ik — сила, с которой i-я точка действует на k-ю, F_ki — сил, с которой k-я точка действует на i-ю. Третий закон утверждает, что обе эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие точки, причем F_ik = - F_ki

3. Векторное уравнение движения МТ можно записать в координатной форме:

То есть получили три дифференциальных уравнения. Для их решения необходимо задать либо две векторные, либо шесть числовых постоянных. Обычно берут значения радиус-вектора r и скорости v в момент времени t=0. Их называют начальными условиями.

Пример. Движение в поле силы тяжести.

Галилеем было установлено, что все тела в пустоте вблизи Земли падают с одинаковым ускорением. Сила тяжести выражается формулой F=mg, и уравнение движения переходит в

Простым дифференцированием можно убедиться, что это уравнение имеет общее решение: при произвольных значениях постоянных векторов и . Эти два вектора должны быть заданы при t=0.

4. Для системы из N материальных точек необходимо задать начальный радиус-вектор и начальную скорость, т.е. всего 2N векторов или 6N чисел, определяющих начальные значения координат и скоростей материальных точек системы.

 

8. Силы в механике. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Принцип суперпозиции. Сила упругости. Закон Гука.

В механике рассматривают  силу всемирного тяготения (гравитационную силу), которая может действовать на рассматриваемое тело на большом расстоянии (например, Земля притягивает Луну), и две контактные силы: силу упругости и силу трения.

Сила упругости.

Силами упругости называются силы, возникающие при деформации тел, то есть при изменении их формы и размеров. Если после прекращения действия силы, вызвавшей деформацию, тело принимает первоначальную форму и размеры, то деформация называется упругой.

Простейшими деформациями являются деформации растяжения и сжатия. Они описываются законом Гука при малых упругих деформациях.

На рисунке рассмотрен случай растяжения. Сила, вызывающая растяжения стержня обозначена F. Равная ей по величине и противоположно направленная возвращающая сила выражается через экспериментальный закон Гука: F=-kx

Здесь x - размер, на который увеличилась длина стержня, а k – коэффициент жесткости стержня. Знак минус указывает на то, что сила направлена в сторону, обратную изменения длины стержня. Если разделить силу на площадь сечения стержня S, а удлинение x на первоначальную длину стержня l, то закон Гука преобразуется к виду:

.

Здесь E – модуль Юнга и зависит только от вещества стержня. Для конкретного стержня величина k выражается из формулы

Гравитационная сила. Сила тяжести.

Исаак Ньютон вывел закон всемирного тяготения, выражающийся формулой:

Здесь m₁ и m₂ — массы взаимодействующих материальных точек, r — расстояние между точками, F — сила взаимодействия, G=6,67*10^-11 Н*м²/кг² — гравитационная постоянная. Сила направлена по прямой, соединяющей МТ и является силой притяжения.

Вблизи планеты, в том числе вблизи Земли (r≈R_З), эта формула преобразуется к виду:

F=mg, где  называется ускорением свободного падения. Эта сила (F) обычно называется силой тяжести.

Сила натяжения нити возникает в том случае, когда какое-либо тело закреплено и висит на нити. Нить (подвес) растягивается и действует на тело с силой . Сила натяжения нити всегда направлена вдоль нити, и если масса нити пренебрежимо мала, то сила натяжения одинакова в любом сечении.

Сила реакции опоры возникает в том случае, когда какое-либо тело расположено на подставке (опоре). Опора деформируется и действует на тело с силой N, направленной перпендикулярно поверхности подставки. По третьему закону Ньютона на подставку со стороны тела действует сила .

Вес тела – сила, с кт. тело действует на подставку или растягивает подвес. Вес тела приложен либо к нити (подвесу), либо к подставке, на которой оно висит или находится. В случае, когда тело не действует на опору, вес тела равен нулю (состояние невесомости). Вес тела, движущегося с ускорением :

Силы в механике подчиняются принципу суперпозиции (принципу независимости действия сил): Если на материальное тело действуют несколько сил, то результирующую силу можно найти из выражения: