14. Закон сохранения момента импульса.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri, с некоторой скоростью 𝑣. Скорость 𝑣i и импульс mi𝑣i перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус является плечом вектора . Поэтому можем записать, что момент импульса отдельной частицы равен и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: .

Поскольку , имеем:

т. е.

Т. о. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем последнее уравнение по времени:

т. е. – ещё одна запись уравнения динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

В замкнутой системе момент внешних сил М=0 и , откуда L=const – закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

15. О

16. Л

17. Л

18. Л

19. Л

20. Л

21. Гармонические колебания. Основные характеристики колебательного процесса. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Гармонические колебания – колебания, при который колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса):

,

,

где  — мгновенное значение колеблющейся величины в момент времени ,  — амплитуда колебаний, равная наибольшему значению ,  — фаза колебания, определяющая мгновенное значение колеблющейся величины,  — круговая частота колебаний,   — начальная фаза колебаний. Время, в течение которого совершается одно полное колебание, называется периодом колебания . Легко показать, что .

Величина  называется частотой колебания. Единица измерения частоты в СИ — 1 герц=1с^-1. Выбор синуса или косинуса связан с удобством при рассмотрении конкретной задачи. Всегда можно изменить одну функцию на другую, изменив фазу на . Результат при этом не изменится.

Выведем дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Возьмем, например

и продифференцируем величину  по времени два раза:

,

.

Из последнего уравнения получаем

.

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Его решением является ранее приведенные формулы для . При этом величины амплитуды и начальной фазы должны быть заданы отдельно.

Простейший пример гармонических колебаний получается при рассмотрении движения шарика, жестко связанного с невесомой пружиной. При этом считается, что трения нет. Пусть  — длина недеформированной пружины. Если пружину растянуть или сжать до длины , то возникает сила , стремящаяся вернуть тело в положение равновесия. При небольших растяжениях  справедлив закон Гука . Тогда уравнение движения тела имеет вид

.

Если положить , то уравнение превратится в

,

то есть в уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения представимо в виде , где  и  — любые. Отсюда также следует, что груз на пружине будет совершать гармонические колебания с круговой частотой

и периодом

.

Период колебаний  не зависит от амплитуды . Это свойство, называемое изохронностью колебаний, выполняется, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях закон Гука не выполняется и появляется зависимость периода колебаний от амплитуды.

 

Потенциальная и кинетическая энергии тела даются выражениями

,   .

Подставляем сюда зависимость  от времени и получаем

,   .

Учитывая формулу для частоты, получаем

.

То есть механическая энергия в этом случае сохраняется.