Сферична система координат

У тривимірному просторі ХУZ візьмемо точку Р і через цю точку та вісь аплікат проведемо площину. Нехай відстань точки Р від початку координат (полюса) дорівнює r, двогранний кут між координатною площиною ХOZ і площиною Z0Р дорівнює , а кут між віссю 0Z, і променем ОР дорівнює . Упорядкована трійка чисел (r, , ) однозна­чно визначає положення точки Р у просторі ХУZ. Ці числа називають сферичними координатами точки Р і записують Р (r, , )

Знайдемо залежність між прямокутними декартовими координа­тами і сферичними координатами точки. З прямокутного трикутни­ка OQР (рис. 1.11) знаходим

З прямокутного трикутника дістанемо

Т оді

де 0 r <+ ; 0< 2 ; 0 0 <

2. n-Вимірний простір: компоненти, властивості.

n-Вимірним (скінченновимірним) простором або простором n вимірів називають множину упорядкованих сукупностей дійсних чисел (x₁, х₂… х_n) в обраній системі координат і позначають Rⁿ.

Множина Rⁿ називається ще афінним простором n вимірів.

Елемент (x₁, x₂… x_п) множини Rⁿ де x₁,х₂ …х_n — задані дійсні числа, називають точкою n-вимірного простору, а числа — коор­динатами цієї точки і записують

Р (x₁ х_2… х_n). Якщо точка Р на­лежить простору Rⁿ то пишуть Р є Rⁿ , або

(х₁, х₂,…х_n) є Rⁿ .

Зазначимо, що окремими випадками n-вимірного простору є одновимірний простір R¹ , двовимірний простір R² і тривимірний простір R³, які можна зобразити геометрично. Далі простори R¹, R², R³ на­зиватимемо наочними просторами. Для n-вимірного простору, де n > 4, ця наочність зникає. Отже, зрозуміло як ввести поняття кута між двома осями в тривимірному просторі, а як це зробити для n-вимірного простору, поки що невідомо (взагалі це можна зробити за допомогою по­няття вектора).

3. Вектори, дії із векторами.

Величини, для визначення яких недостатньо знати тільки число. Ці величини називаються векторними або просто векторами. Далі під вектором будемо розуміти напрямлений відрізок. Векторними вели­чинами є, наприклад, сила, швидкість, прискорення.

Розрізняють вектори зв'язані, ковзні і вільні.

Зв'язаний вектор — це величина, яка задається числом, точ­кою прикладання, лінією дії та напрямом (наприклад, сила).

Якщо величина визначається числом, лінією дії та напрямом, то така величина називається ковзним вектором (наприклад, кутова швидкість).

Вільним вектором називається величина, яка визначається числом і напрямом, а лінія дії і точка прикладання можуть бути до­вільними.

Далі розглядатимемо лише вільні вектори і називатимемо їх просто векторами.

Число визначає довжину вектора, а напрям визначає ту пряму, на якій розміщено вектор (пряма А₁С, рис. 2.1). Для напряму век­тора достатньо задати кути, які складає пряма А₁С з осями коорди­нат, вони позначаються через . Косинуси цих кутів назива­ються напрямними косинусами. Для побудови кутів до­сить із довільної точки А на прямій А₁С побудувати осі АХ₁, AY₁, AZ₁, паралельні OX, OY, OZ.

Сумою векторів + називається третій вектор , який виходить із спільного початку даних векторів і збігається з діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах.

Сумою будь-якого скінченного числа векторів називається вектор , який утворюється внаслідок по­слідовного застосування правила трикутника (рис. 2.6).

Віднімання векторів. Два рівних між собою за довжиною, протилежних за напрямом і паралельних вектори і - називають­ся протилежними векторами (сума їх дорівнює нуль-вектору). Віднімання векторів визначається як дія, обернена до додавання

- = , якщо + = , aбо - = +(- )

Таким чином, щоб від вектора відняти вектор , треба до вектора додати вектор, протилежний до вектора

Множення вектора на число. Нехай дано вектор і деяке дійсне числоc. Тоді є вектор, довжина якого дорівнює | | | | а . Якщо > 0 і 0, то вектори і напрямлені одна­ково (співнапрямлені); якщо < 0 і 0, то вони напрямлені

протилежно. Якщо = 0 або = 0, то = 0. Якщо два вектори і пов'язані співвідношенням = , то вони називаються колінеарними.

4. Лінійний простір: елементи простору, основні властивості простору, приклади лінійних просторів.