3.4. Ранг матриці
Поняття мінора можна ввести і для прямокутної матриці. Для цього треба з прямокутної матриці викреслити стільки рядків і стовпців, щоб після закреслювання утворювалась квадратна матриця. Наприклад, для матриці
Кожний з визначників цих матриць буде мінором матриці А.
Якщо матриця має відмінний від нуля мінор порядку r, а всі мінори вищого порядку (якщо вони є) дорівнюють нулю, то число r називається рангом матриці. Позначення: r = rang А.
Ранг нуль-матриці за означенням вважають рівним нулю. Відмінний від нуля мінор найвищого порядку називається базисним. Зрозуміло, що у матриці може бути декілька базисних мінорів. Стовпці матриці, на яких міститься базисний мінор, називаються базисними стовпцями, а рядки, на яких він лежить - базисними рядками.
8.Теореми про лінійно залежні і лінійно незалежні вектори.
9) Скалярний добуток векторів: означення, застосування.
Скалярним добутком двох векторів — називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. |a|*|b|*cos(f)
10) Векторний добуток векторів: означення, застосування.
11) Змішаний добуток векторів: означення, застосування.
12) Лінійні алгебраїчні рівняння. Теорема Кронекера-Капеллі.
Теорема Кронекера - Капеллі — критерій сумісності системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
СЛАР має розв'язки тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці дорівнює рангу її розширеної матриці
Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і нескінченно багато рішень, якщо ранг менше числа невідомих.
Необхідність
Нехай СЛАР сумісна, тоді існує розв'язок: такі, що Тобто, стовпець є лінійною комбінацією стовпців матриці
Отже
Достатність
Нехай Візьмемо в матриці будь-який базисний мінор. Так як , то він буде базисним мінором і для матриці
Тоді згідно з теоремою про базисний мінор, останній стовпець матриці буде лінійною комбінацією базисних стовпчиків, тобто стовпців матриці
Отже, стовпець вільних членів системи є лінійною комбінацією стовпців матриці коефіцієнти такої лінійної комбінації і будуть розв'язком СЛАР.