Визначник і мінори матриці

Розглянемо квадратну матрицю

Квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається детермінантом або визначником матриці.

Детермінант матриці позначається так:

Детермінант так само, як і матриці, має порядок. Він дорівнює порядку відповідної матриці. Детермінанти можуть бути першого, другого, і n-ого порядків. Поняття детермінанта вводиться лише для квадратних матриць. Якщо розглянути деякий елемент квадратної матриці А, який позначимо а_ij, що стоїть на перетині і-го рядка та j-го стовпця, і побудувати матрицю без цього рядка і стовпця, то дістанемо матрицю (n-1)-го порядку

Цій матриці відповідає визначник (n-1)- го порядку, який називається мінором матриці А, який відповідає елементу а_{ij .}

Мінором (n-1)-го порядку елемента а_ij матриці n-го порядку називається визначник нової матриці, яка утворюється з даної матриці внаслідок викреслювання рядка і стовпця, які перетинаються на цьому елементі. Мінор матриці позначається так:

У матриці першого порядку А =(a₁₁) за означенням мінора немає.

Властивості визначників

1. Значення визначника не змінюється, якщо всі його рядки замінити стовпцями, причому кожний рядок замінити стовпцем з тим самим номером

Ця властивість означає рівнозначність рядків і стовпців визначника

2. Якщо поміняти місцями два стовпці(рядки) визначника, то визначник поміняє знак на протилежний.

Для доведення властивостей 1 і 2 достатньо розкрити кожний визначник і порівняти знайдені результати.

3. Визначник,який має два однакові стовпці(рядки), дорівнює нулю.

Дійсно,нехай визначник Δ має два однакові стовпці. Тоді, помінявши місцями ці стовпці, дістанемо визначник, що дорівнює –Δ,тобто Δ= –Δ звідси знаходимо 2Δ=0, або Δ=0.

4. Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (рядка) мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Наприклад

Звідси як наслідок маємо, що коли помножити всі елементи якого-небудь стовпця(рядка) на одне і те саме, то і визначник помножиться на це число.

Якщо елементи стовпця визначника подати як компоненти вектора, то властивість 4 випливає із означення операції множення вектора на число.

5. Визначник, елементи двох стовпців (рядків) якого відповідно пропорціональні, дорівнює нулю.

Дійсно, нехай маємо визначник

В якому a₁₂ = mа₁₁ і a₂₂ = mа₂₁. Тоді враховуючи властивості 3 ,4, дістанемо

6. Якщо кожний елемент якого-небудь стовпця (рядка) є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпцями(рядками) є відповідні доданки, а решта збігається із стовпцями(рядками) заданого визначника:

Якщо позначити

То

Δ=Δ₁+Δ₂,

Тобто властивість 6 виражає правило додавання визначників.

7. Визначник не зміниться, якщо до елементів якого-небудь його стовпця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка), помножені на одне й те саме число.

Справді,нехай дано два визначники, наприклад, третього порядку:

Тоді з урахуванням властивостей 3 , 4 і 6, маємо

7. Сума добутків елементів a_ij деякого рядка(стовпця) визначника на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця)дорівнює нулю: