15) Обернена матриця. Матричний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку, що .

16. Лінійні перетворення (оператори): означення, властивості. Матриця оператора.

Якщо лінійні простори збігаються L i L’ , то говорять про відображення простору самого в себе.

16. Перетворення координат вектора при переході до нового базису. Теорема про матрицю лінійного оператора при переході до нового базису.

16. Власні числа і власні вектори матриці лінійного оператора.

Ненульовий вектор   який задовольняє умові

                                      ,                                    (1)

називається власним вектором лінійного перетворення  а число  власним значенням. Говорять, що власний вектор   відповідає власному значенню 

Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення  Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.

Власні вектори , що відповідають попарно різним власним значенням  , лінійно незалежні.

16. Квадратичні форми. Теорема Сільвестра

Теорема Сільвестра:

На площині дано кінцеве число точок, причому таке, що будь-яка пряма, що проходить через дві з даних точок, містить ще одну дану точку. Тоді всі дані точки лежать на одній прямій.

16. Векторне і загальне рівняння площини.

Загальне рівняння площини

Будь-яку площину можна задати рівнянням площини першого ступеня вигляду

A x + B y + C z + D = 0

де A, B і C не можуть одночасно дорівнювати нулю.

- векторне рівняння площини.

16. Рівняння площини у відрізках, рівняння площини що проходить через три задані точки.

• Рівняння площини у відрізках:

де   — відрізки, які площина відсікає на осях   і  .

• Рівняння площини, що проходить через три задані точки  , які не лежать на одній прямій:

(мішаний добуток векторів), іншими словами

22.Кут між площинами

Кут між площинами Якщо рівняння площини задані у вигляді (1), то

Якщо у векторній формі, то

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореному нормальними векторами цих площин.

Двогранний кут між площинами дорівнює куту утвореними прямими l1 і l2, що лежать в відповідних площинах і перпендикулярні лінії перетину площин.

Якщо задані рівняння площин A1x + B1y + C1z + D1 = 0 і A2x + B2y + C2z + D2 = 0, то кут між площинами можна знайти, використавши наступну формулу

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|

(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2