Матриці та їх види

Введемо поняття матриці незалежно від системи векторів. Запишемо прямокутну таблицю чисел із k рядків і n стовпців:

Прямокутна таблиця, складена із довільного набору величин, називається прямокутною матрицею . При цьому величини називаються елементами матриці, а сукупність елементів, розкладених на горизонтальній (вертикальній) прямій, складають рядок (стовпець) матриці. Місце елемента визначається номером рядка і номером стовпця, на перетині яких він розміщений. У прийнятому позначенні перший індекс елемента вказує на номер рядка, а другий – на номер стовпця. Будь-який елемент матриці звичайно позначається через a_ij, де і – номер рядка, j – номер стовпця, на перетині яких розміщено цей елемент.

Символічний добуток числа рядків k на число стовпців n матриці називають розміром матриці і позначають k×n.

Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається квадратною матрицею:

Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Так, матриця В має порядок n.

Розмір квадратної матриці дорівнює n². У квадратних матрицях звичайно виділяють два види елементів. Це елементи, які містяться на діагоналях квадрата, складеного із елементів матриці. Елементи

Складають так звану головну діагональ матриці В, а сукупність елементів

-­її побічну діагональ.

Замінимо у матриці А рядки на стовпці так, щоб перший рядок став першим стовпцем, другий рядок – другим стовпцем, третій рядок – третім стовпцем тощо. У результаті цього дістанемо матрицю

Матриця А називається транспонованою матрицею відносно матриці А. Перехід матриці А до матриці А^Т називається операцією транспонування. У матрицях А і А^Т елементи a_ij i a^’_ij пов’язані співвідношенням a^’_ij= a_ij для всіх i= 1,2,…,n i j= 1,2,…,k.

Матриця називається нульовою, якщо всі її елементи – нулі:

Якщо в квадратній матриці всі елементи, розміщені поза головною діагоналлю, - нулі, то матриця називається діагональною:

Діагональна матриця, всі елементи головної діагоналі якої дорівнюють одиниці, називається одиничною. Одинична матриця позначається так:

Якщо для квадратної матриці В справджується рівність b_ij=b_ji, то матриця називається симетричною.

Симетричні матриці інваріантні відносно транспонування, тобто транспонована і задана матриці збігаються.

Дві матриці однакових розмірів, з однаковими відповідними елементами називаються рівними між собою.

Матриця, у якої всі елементи, що стоять над головною діагоналлю ( або під головною діагоналлю) нулі, називається нижньою трикутною (або верхньою трикутною) матрицею.

Наприклад , - нижня трикутна матриця.

Матриця, для елементів якої справджується співвідношення , називається кососиметричною.

Наприклад, - кососиметрична

Сумою двох матриць однакового розміру називається матриця такого самого розміру, елементи якої дорівнюють сумам відповідних елементів матриць, які додаються.

Сумою матриць А і В

є матриця С

Легко помітити, що операція додавання матриць, як і операція додавання чисел у арифметиці, підлягає переставному (комутативному) закону:

А+В = В+А

Із означення суми матриць випливає,що сума будь-якої матриці і нуль-матриці того самого розміру дорівнює даній матриці:

А+0=А, 0+А=А

Тобто нуль-матриця в теорії матриць виконує ту саму роль, що і число нуль у теорії чисел.

Добутком матриці на число (або числа на матрицю) називається матриця, елементами якої є добутки елементів даної матриці на це число:

Операція множення матриці на число має розподільну властивість.

λ(А+В) =λА+λВ

Якщо число λ=0, то добуток А∙0 дорівнює нуль-матриці:

А∙0= 0∙А=0

Якщо порівняти означення операцій додавання, віднімання і множення матриць на число з аналогічними операціями над векторами, то легко помітити повну їх аналогію.

Введемо поняття лінійної залежності і незалежності матриць стосовно до матриці-стовпця або матриці-рядка.

Нехай дано набір матриць-стовпців з однаковою кількістю рядків

Візьмемо набір чисел λ₁, λ₂ ,…,λ_к і помножимо λ₁ на А₁, λ₂ на А₂ ,…, λ_к на А_к. Знайдені результати додамо. Дістанемо нову матрицю-стовпець

Добутком двох матриць А і В, число стовпців першої з них дорівнює числу рядків другої, називається третя матриця С,елемент якої с_ij дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

Нехай дано матриці

Тоді їхній добуток

Де

Наведене правило множення матриць викликане необхідністю записувати в компактній формі системи лінійних рівнянь.

Дві матриці А і В називаються узгодженими, якщо число стовпців першої дорівнює числу рядків другої, тобто вони мають розміри m×n i n×p. Перемножати можна тільки узгоджені матриці.

Приклад. Знайти добуток матриць

Розв’язання. Ці матриці можна перемножати, тому що число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В. За означенням знаходимо

A∙B= = = .

7. Визначник і мінори матриці. Властивості визначників. Ранг матриці.