63. Спецификация моделей со случайными возмущениями и преобразование их к системе нормальных уравнений.

Один из принципов спецификации - включение в спецификацию экономической модели случайных возмущений. На практике не всегда удается учесть влияние всех факторов на изучаемую переменную (например, в функции спроса учесть возрастные особенности потребителя), выбрать правильную форму математической зависимости между экономическими переменными (например, нелинейную вместо линейной), безошибочно выполнить измерения (правильно провести опрос). Поэтому эндогенные переменные модели следует рассматривать как случайные величины и, помимо детерминированной составляющей, описывающей поведение эндогенной переменной в зависимости от предопределенных переменных, включать некоторые случайные величины, называемые случайные возмущения.

где f(x)- часть эндогенной переменной, объясняемая значением экзогенной переменной Х; ε – случайное возмущение.

Для того чтобы среди множества уравнений регрессии выбрать одно, необходим критерий отбора. При оценивании параметров регрессионных моделей наиболее часто применяется МНК. Его оценки обладают свойствами несмещённости, состоятельности, эффективности:

(1)

То есть оценки параметров должны быть подобраны таким образом, чтобы сумма квадратов случайных возмущений стремилась к минимуму

(2)

Для нахождения минимума дифференцируем (1):

Получаем стандартную форму нормальных уравнений:

Из которых находим параметры.

64. Способы корректировки гетероскедастичности. Метод взвешенных наименьших квадратов.

Гетеро-сть приводит к неэффективности оценок несмотря на их несмещенность. Это может привести к необоснованным выводам по качеству модели. Поэтому при установлении гетеро-сти возникает необходимость преобразования модели с целью устранения данного недостатка. Вид преобразования зависит от того, известны или нет дисперсии отклонений случайных возмущений. Если такие дисперсии известны, применяется метод взвешанных наименьших квадратов (ВНК).

Опишем метод ВНК на примере парной регрессии:

Разделим обе части на известное СКО:

Перейдем к новым переменным:

При этом для v_i выполняется условие гомо-сти:

Так как по первой предпосылки МНК , то

То есть выполняются все предпосылки МНК, то есть все полученные оценки будут наилучшими линейными несмещенными оценками.

65. Статистические свойства оценок параметров парной регрессионной модели.

Исходя из теоремы Гаусса-Маркова, МНК-оценки параметров парной регрессии обладают следующими свойствами:

• Линейность - то есть она является линейным функционалом

• Нормальность - то есть её распределение нормально

• Несмещенность - то есть её математическое ожидание равно значению параметра

• Состоятельность - то есть она сходится по вероятности к истинному значению параметра

• Эффективность - то есть мера эффективности одной оценки не больше для любой другой оценки из того же класса.

66. Статистические характеристики выборки и генеральной совокупности статистических данных. Их соотношения.

Определение. Генеральными (соответственно выборочными) характеристиками признака Х называют эмпирические характеристики признака Х в генеральной (соответственно выборочной) совокупности.

Например:

- генеральное среднее (число)

-выборочное ср-ее (случ велеч)

-генераль дисп-сия (число)

-выбороч дис-сия (случ велич)

Теорема. Пусть Х1,…,Хn – значения признака Х в выборке, x^0-генеральное среднее, а D(X) – генеральная дисперсия. Тогда для выборочного среднего Хср имеем:

• В случае повторной или беспроводной выборки

• В случае повторной выборки

• В случае бесповторной выборки

Где N – объем генеральной совокупности.

Из теоремы нетрудно получить следующее следствие: ПустX1,…,Xn; Y1,…,Yn – значения признаков X и Y в выборочной совок-ти объема n, Cov(X,Y) – ковариация признаков X и Y в генеральной совокупности объема N. Тогда для ковариации выборочных средних справедливы соотношения:

• В повторной выборке

• В бесповторной -

Связь: E(Xв(с чертой))=Хо(с чертой)

Е(Дв)=((n -1)/³)*До

Д(Хв(с чертой))=До/n