12. Свойства средней арифметической. Способы ее исчисления.

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая обладает некоторыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С:

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину

На использовании этого свойства базируется расчет центральных моментов, представляющих собой характеристики вариационного ряда при

где k определяет порядок момента (центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию).

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз:

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится:

Исходя из данного свойства, можно заключить, что если все веса равны между собой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и средней арифметической невзвешенной приведут к одному и тому же результату.

Среднюю арифметическую можно вычислять двумя способами, исходя из того, какая именно нам нужна: средняя арифметическая простая или средняя арифметическая взвешенная.

Простая: . Взвешенная:

13. Структурные средние, методика их исчисления в дискретных и интервальных рядах распределения.

Главное назначение структурных средних – устранение структурного факта для выявления доминирующего, характерного уровня показателей. С их помощью можно провести детальный анализ состава показателей по более мелким и более однородным группам.

Когда данные представлены в виде вариационного ряда, все расчеты проводятся по таблице. Если данные представлены в виде интервальных рядов, то для вычисления структурных средних применяются следующие формулы:

1. Мода:

2. Медиана:

3. Квартили:

4. Децили:

14. Абсолютные показатели вариации. Их значение в статистическом анализе.

Показатели вариации призваны дать оценку степени вариативности и достоверности средних величин.

1. Вариационный размах:

2. Фондовая дифференциация: , где – средняя из 10% максимальных (минимальных) значений признака.

3. Среднее линейное отклонение:

4. Дисперсия:

5. Среднее квадратическое отклонение:

6. Квартильное отклонение:

7. Дисперсия альтернативного признака: , где p – доля желаемого значения, q – доля прочих вариантов.