Вопрос 42

ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА

Пусть функция u = u(x) дифференцируема в точке x₀, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u₀ = u(x₀), тогда сложная функция y = f(u(x)) дифференцируема в точке x₀, причем

 

df(u(x)) = f '(u0)u '(x0)dx.

Так как u ^'(x₀)dx = du, то

df(u(x)) = f '(u0)du

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)

 

Следует обратить внимание на то, что инвариантна (неизменна) именно лишь форма дифференциала, так как в содержании формулы дифференциала фкнкции есть существенное отличие от содержания формулы дифференциала от независимой переменной

u - независимая переменная

y = f(u); dy = f '(u)du; du = Δu

u - функция некоторой переменной x

y = f(u(x)); dy = f '(u)du; du ≠ Δu

так как Δu = du + α(Δx)Δx; α(Δx) - б.м.ф. при Δx→0

Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть F(t) = f((t)), tRm сложная функция, как уже отмечалось

dF =  =  = = = .

Таким образом,

dF=  . Рассмотрим понятие предела функции в бесконечности. (предел функции в бесконечности) Математика лекции и задачи

Это свойство носит название свойством инвариантности формы первого дифференциала. В частности, отсюда следуют широко используемые свойства дифференциала

d(u+v) = du + dv

d(uv) = vdu + udv

d(u/v) = (vdu – udv)/v2

Докажем третье свойство.

, ч.т.д.

Вопрос 43 Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Рассмотрим для примера функцию

от двух переменных, которую будем предполагать дифференцируемой.

Мы хотим вычислить эту функцию в точке  , где

,

,

Приближенные значения этих чисел запишем в виде конечных десятичных дробей

,

.

Таким образом, имеют место приближенные равенства

с абсолютными погрешностями приближения, удовлетворяющими неравенствам

.

Подставив в функцию   вместо   соответственно  , получим приближенное равенство

с абсолютной погрешностью

,

которую при достаточно малых   можно приближенно заменить дифференциалом функции   в точке  :

.

Отсюда получаем неравенство

.                               (1)

На самом деле это неравенство приближенное, потому что мы получили его, пренебрегая некоторой величиной, правда, значительно меньшей, чем  .

Обратим внимание на тот факт, что конечные десятичные дроби   при уменьшении  ,   становятся все более и более громоздкими. Поэтому при вычислении числа   мы должны беспокоиться не только о том, чтобы оно приближало   должным образом, но и чтобы производимые при этом вычисления совершались возможно, экономно. В силу этого замечания из неравенства (1) следует, что если нужно, чтобы абсолютная погрешность   не превышала данную малую величину, которую мы обозначим через  , то этого мы достигнем, взяв числа   ,   такими, чтобы выполнялись неравенства

 ,                       (2)

т. е. чтобы погрешность   распределялась между слагаемыми в правой части неравенства (1) поровну.

Из неравенств (2) видно, что вычисления будут наиболее экономными, если в качестве  ,   (на самом деле  ,  ) взять наибольшие возможные числа, удовлетворяющие этим неравенствам.

П р и м е р  1. Функция   имеет для  ,   непрерывные частные производные, равные

.

Поэтому приближенное равенство

имеет абсолютную погрешность, которая при малых приращениях  , если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет неравенству

.

Если требуется, чтобы гарантированная погрешность была меньше  , надо подобрать   так, чтобы

.

Мы видим, что числа   не обязательно должны быть равными. Если, например,   значительно меньше, чем  , то соответственно надо взять   меньшим, чем  . Иначе наши вычисления были бы неэкономными. Если бы, например, было, что

,

где  , то оказалось бы, что

,

и при этом на вычисление второго слагаемого  , ввиду излишней малости  , мы потратили бы излишнюю работу. Между тем вычисления упростятся, если взять возможно большие  ,  , удовлетворяющие неравенствам.

.

П р и м е р  2. Функция   имеет непрерывные частные производные  ,  . Поэтому приближенное равенство

имеет абсолютную погрешность  , которая при малых приращениях  , если пренебречь величинами, значительно меньшими этих приращений, удовлетворяет соотношениям

.

Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям

.

Мы видим, что при малых   и   можно считать, что относительная погрешность произведения не превышает сумму относительных погрешностей сомножителей.

П р и м е р   3. Функция   для   имеет непрерывные частные производные

.

Поэтому приближенное равенство

имеет абсолютную погрешность  , которая при малых приращениях  , если пренебречь величинами, значительно меньшими, чем  , удовлетворяет соотношениям

.

Соответственно относительная погрешность удовлетворяет соотношениям

.

Таким образом, при малых   и   можно считать, что относительная погрешность частного не превышает сумму относительных погрешностей делимого и делителя.

П р и м е ч а н и е. Вопрос о точных оценках величин, которыми мы пренебрегли, решается на основании формулы Тейлора для функций многих переменных. Об этом будет идти речь в § 8.10.