Вопрос 13 Предел монотонной ограниченной последовательности. Существование корня степени из вещественного числа. Число
Определение. Пусть 
—
произвольная числовая последовательность.
Построим новую последовательность по
правилу
Последовательность 
называется последовательностью
частичных сумм последовательности
.
Определение. Пусть — последовательность, — последовательность частичных сумм последовательности . Предел последовательности называется суммой всех членов последовательности .
Найдем
сумму всех членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии,
т.е. геометрической прогрессии со
знаменателем, по модулю меньшим 
.
Пусть
—
геометрическая прогрессия с первым
членом 
и
знаменателем 
. 
.
Действительно, из неравенства Бернулли
имеем
Поскольку 
,
то 
представимо
в виде 
.
Тогда
Применим теорему о сжатой последовательности
Имеем 
.
Пусть — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Тогда
Если
через 
обозначить
сумму членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, то
Вспомним аксиому непрерывности множества вещественных чисел.
Любое
ограниченное множество 
имеет
точную верхнюю границу (т.е. существует
наименьшая из всех верхних границ).
Из определения точной верхней границы множества следует характеристическое свойство точной верхней границы:
Число 
называется точной
верхней границей множества 
,
если
1) — верхняя граница ;
2) 
.
Обозначение 
.
Замечание. Аналогично
определяется точная
нижняя граница множества
— 
.
Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Докажем
теорему для монотонной возрастающей
последовательности 
.
Докажем, что точная верхняя граница для
последовательности 
и
будет ее пределом.
Действительно, по определению точной верхней границы
Кроме
того, какое бы ни взять число 
,
найдется такой номер 
,
что
Так
как последовательность монотонна, то
при 
будет 
,
а значит, и 
и
выполняются неравенства
откуда
и следует, что 
.
Приложения.
I. Существование ,
Пусть . Корень -й степени из — такое вещественное число , что . Рассмотрим случай, когда и будем искать , удовлетворяющее этому соотношению, т.е. арифметическое значение корня.
Возьмем возрастающую последовательность рациональных чисел .
Докажем, что последовательность .
Последовательность возрастает. Действительно, предположим противное: . Тогда, по свойствам неравенств, будем иметь , что противоречит возрастанию . Аналогично доказывается ее ограниченность. Возьмем рациональное число . Тогда, очевидно, . Таким образом, последовательность имеет предел. По теореме о пределе произведения
т.е. .
II. Число (число Эйлера, число Непера)
Рассмотрим последовательность
Докажем, что эта последовательность имеет предел. Применим бином Ньютона
Если
от
перейти
к 
,
т.е. увеличить
на
единицу, то, прежде всего, добавится
новый, 
-й
полложительный член, каждый же из
написанных 
членов
увеличится, так как любой множитель в
скобках вида 
заменится
большим множителем 
.
Отсюда и следует, что 
,
т.е. последовательность
возрастает.
Покажем, что она ограничена сверху. Опустив в выражении для все множители в скобках, мы этим увеличим его, так что
Заменив
каждый множитель в знаменателях дробей
числом 
,
мы еще увеличим полученное выражение:
Но
прогрессия, начинающаяся членом 
,
имеет сумму меньше
,
поэтому 
.
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815–1897), будучи восемь лет преподавателем католической гимназии в городе Браунсберге, усиленно занимался математикой. Директор гимназии с уважением относился к его занятиям математикой. Однажды Вейерштрасс утром не явился на урок, дав ученикам повод пошуметь в классе. Директор гимназии, придя на квартиру к Вейерштрассу, к своему удивлению обнаружил, что он всю ночь занимался математикой и, не заметив наступившего уже утра, продолзжал свои размышления перед горящей лампой. Вскоре в знаменитом “Журнале чистой и прикладной математики”, издаваемом А.Л. Крелле (1780–1855), появилась статья Вейерштрасса по теории функций Абеля с датой 11 сентября 1853 года.
Много позднее сестра Вейерштрасса Клара в одном из писем Софье Владимировне Ковалевской (1850–1891) от 22 марта 1882 года писала: “Математики — самоистязатели”. Когда Карл одержим математикой, то даже “за едой он указательным пальцем правой руки пишет формулы на поверхности другой руки.”
Задачи.
1) Докажите, что данные последовательности имеют предл и найдите его:
1. 
2. 
3. 
2) Докажите, что последовательность
не имеет предела.
3) выясните, при каких значениях последовательность :
имеет предел.
4) Найдите пределы последовательностей:
1. 
2. 
Лемма о вложенных отрезках
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Лемма о вложенных отрезках, или принцип вложенных отрезков Коши—Кантора[1], или принцип непрерывности Кантора[2] — фундаментальное утверждение в математическом анализе, связанное с полнотой поля вещественных чисел.
Формулировка
Для всякой системы вложенных отрезков
существует хотя бы одна точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.
Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю:
то — единственная общая точка всех отрезков данной системы.
[править]Замечание
Отрезки в формулировке теоремы нельзя заменить на открытые интервалы. Например,
[править]Доказательство
1) Существование
общей точки. Множество
левых концов отрезков 
лежит
на числовой прямой левее множества
правых концов отрезков 
,
поскольку
В силу аксиомы непрерывности, существует точка , разделяющая эти два множества, то есть
в частности
Последнее неравенство означает, что — общая точка всех отрезков данной системы.
2) Единственность
общей точки. Пусть
длина отрезков системы стремится к
нулю. Покажем, что существует только
одна точка, принадлежащая всем отрезкам
системы. Предположим противное: пусть
имеется две различные точки
и 
,
принадлежащие всем отрезкам системы:
Тогда для всех номеров выполняются неравенства:
В
силу условия стремления к нулю длин
отрезков для любого 
для
всех номеров
,
начиная с некоторого будет выполняться
неравенство
Взяв
в этом неравенстве 
,
получим
Противоречие. Лемма доказана полностью.