Вопрос 15
Критерий коши существования предела числовой последовательности
С помощью логических символов определение запишется следующим образом: числовая последовательность (xn) называется сходящейся, если
Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся.
Вот
пример
расходящейся
последовательности: 
.
Ее члены попеременно равны 
и 
и
не стремятся ни к какому пределу.
Если
последовательности (xn)
и (yn)
действительных чисел сходятся и 
,
то
Признаки существования предела
1.
Если 
и 
,
то 
2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.
3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда
(критерий Коши).
Число e
Последовательность 
,
имеет конечный предел, называемый числом е:
Вопрос 16 Частичный предел последовательности
[править]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Верхний предел (lim sup) и нижний предел (lim inf) последовательности.
Частичный предел некоторой последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей, если только он существует. Для сходящихся числовых последовательностей частичный предел совпадает с обычным пределом в силу единственности последнего, однако в самом общем случае у произвольной последовательности может быть от нуля до бесконечного числа различных частичных пределов. При этом, если обычный предел характеризует точку, к которой элементы последовательности приближаются с ростом номера, то частичные пределы характеризуют точки, вблизи которых лежит бесконечно много элементов последовательности.
Два важных частных случая частичного предела — верхний и нижний пределы.
Определение
Частичным
пределом последовательности
называется предел какой-либо
её подпоследовательности,
если существует хотя бы одна
подпоследовательность, имеющая предел.
В противном случае, говорят, что у
последовательности нет частичных
пределов. В некоторой литературе в
случаях, если из последовательности
удаётся выделить бесконечно большую
подпоследовательность, все элементы
которой одновременно положительны или
отрицательны, её частичным пределом
называют соответственно 
или 
.
Нижний предел последовательности — это точная нижняя грань множества частичных пределов последовательности.
Верхний предел последовательности — это точная верхняя грань множества частичных пределов последовательности.
Иногда нижним пределом последовательности называют наименьшую из её предельных точек, а верхним — наибольшую.[1] Очевидно, что эти определения эквивалентны.
[Править]Обозначения
Нижний
предел последовательности 
:
(в
отечественной литературе);
(в
иностранной литературе).
Верхний предел последовательности :
(в
отечественной литературе);
(в
иностранной литературе).
[Править]Примеры
(в
другой терминологии оба предела равны
)
[Править]Свойства
Частичным пределом последовательности может быть только её предельная точка, и, наоборот, любая предельная точка последовательности представляет собой некоторый её частичный предел. Иными словами, понятия «частичный предел последовательности» и «предельная точка последовательности» эквивалентны.
У любой ограниченной последовательности существуют и верхний, и нижний пределы (в множестве вещественных чисел). Если же считать и допустимыми значениями частичного предела, то верхний и нижний пределы существуют вообще у любой числовой последовательности.
Числовая последовательность сходится к тогда и только тогда, когда
.Для любого наперёд взятого положительного числа
все
элементы ограниченной числовой
последовательности
,
начиная с некоторого номера, зависящего
от
,
лежат внутри интервала 
.Если за пределами интервала
лежит
лишь конечное число элементов ограниченной
числовой последовательности
,
то интервал 
содержится
в интервале
.
Нижним пределом последовательности называется наименьший частичный предел последовательности.
Верхним пределом последовательности называется наибольший частичный предел последовательности.
Условие существования предела последовательности эквивалентно условию равенства верхнего и нижнего пределов этой последовательности.