Вопрос 8 Вещественный логарифм
Логарифм вещественного
числа 
по
определению есть решение
уравнения 
Случай 
интереса
не представляет, поскольку тогда
при 
это
уравнение не имеет решения, а при 
любое
число является решением; в обоих случаях
логарифм не определён. Аналогично
заключаем, что логарифм не существует
при нулевом или отрицательном
;
кроме того, значение показательной
функции 
всегда
положительно, поэтому следует исключить
также случай отрицательного
.
Окончательно получаем[5]:
-
Вещественный логарифм
имеет
смысл при 
Как
известно, показательная функция 
(при
выполнении указанных условий для
)
существует, монотонна и
каждое значение принимает только один
раз, причём диапазон её значений содержит
все положительные вещественные числа[6].
Отсюда следует, что значение вещественного
логарифма положительного числа всегда
существует и определено однозначно.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.
Натуральные:
,
основание: число
Эйлера 
Десятичные:
,
основание: число 
Вопрос 9
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Определение
Число 
называется пределом
числовой последовательности 
,
если последовательность 
является
бесконечно малой, т. е. все её элементы,
начиная с некоторого, по модулю меньше
любого заранее взятого положительного
числа.
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называютрасходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
Вопрос 10 Свойства [править]Арифметические свойства
Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
