[Править]Свойства сохранения порядка
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
Вопрос 11
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ СВОЙСТВА
Функция
α(х)
называется бесконечно
малой при 
,
если 
,
т. е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой.
Функция f (х)
называется ограниченной при
,
если существуют положительные числа М и
δ, такие, что при условии
,
выполняется неравенство
.
Например, любая бесконечно малая α(х) является ограниченной функцией при .
В дальнейшем будем рассматривать бесконечно малые при .
Свойства бесконечно малых.
1.
Если функции 
и 
являются
бесконечно малыми, то функция 
также
есть бесконечно малая. Это свойство
распространяется на случай алгебраической
суммы любого конечного числа бесконечно
малых.
2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.
3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.
4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое конечное число бесконечно малых.
Вопрос 12 Предел суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей
Если две последовательности {xn} и {yn} имеют пределы, равные соответственно a и b, то:
а)
Последовательность {xn 
yn}
имеет предел равный a
b,
т. е.
Это свойство распространяется на случай любого фиксированнго числа слагаемых.
б)
Последовательность {xn 
yn}
имеет предел равный ab,
т. е.
Это свойство распространяется также на случай любого фиксированного числа сомножителей.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
предела 
при
любом постоянномk.
с)
Последовательность 
имеет
предел равный 
,
т. е.
при
условии, что все yn не
равны нулю и 
.