1.7 Способы задания функций. Элементарные функции и их свойства.

Существуют несколько способов задания функции.

При табличном способе задания функции зависимость между и его образом задается таблицей значений , при определенных дискретных значениях . Этот способ чаще всего используется при конечной области определения функции.

При графическом способе задания функция задается с помощью ее графика.

В последнее время широко распространен программный способ задания функций, т.е. указание стандартной программы, по которой можно вычислить ее значения, для каждого .

И наконец в математическом анализе наиболее часто используется аналитический способ задания при котором зависимость между элементом и его образом, задается какими либо формулами. Перевод аналитического способа в табличный, при заданном числе точек называют табулированием.

Различают явную, параметрическую и неявную формы аналитического задания функций.

Рене Декарт предложил откладывать значения аргумента функции по горизонтальной оси - оси абсцисс, а соответствующие значения функции по вертикальной оси – оси ординат. Таким образом, в декартовой системе координат каждая точка плоскости задается двумя параметрами: x и y.

Графиком функции в декартовой системе координат называется кривая, соединяющая геометрические места точек с координатами (x, f(x)).

При явной форме, функция задается одной формулой, в которой явно указываются математические действия, которые надо совершить над аргументом, чтобы получить ее значения.

При неявной форме, функция задается формулой, связывающая значения аргумента и его образа, но значения образа не выражены в явной форме.

При параметрической форме, функция задается двумя формулами отдельно зависимость аргумента от некоторого параметра , отдельно зависимость значений функции от того же параметра .



- верхняя часть эллипса

○



, тот же эллипс

○

В полярной системе координат каждая точка задается двумя параметрами и , где - расстояние от точки до полюса и - угол от полярной оси до радиус вектора точки.

Для того, чтобы перевести декартовые координаты в полярные и наоборот используют формулы:

, ,

, .



Построить график функции

1. Строим график функции в декартовой системе координат (рисунок 1.10).

Рисунок 1.10 - График в декартовой системе координат, при

Период этой функции T= , при - принимает отрицательные значения, поэтому в полярной системе координат график не строят.

2. Переносим его в полярную систему координат (рисунок 1.11), откладывая значения на лучах, исходящих из начала полярной системы координат.

Рисунок 1.11 - График в полярной системе координат

○

Среди всех возможных функций отдельно выделяют следующие основные элементарные функции:

• степенная функция ,

• показательная функция (при она же называется экспоненциальной функцией или экспонентой),

• логарифмическая (частные случаи - - десятичный логарифм, - - натуральный логарифм)

• тригонометрические функции , , , ,

• обратные тригонометрические функции , , , .

Элементарными функциями называются все функции, которые можно составить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и операций образования сложных функций (суперпозиции).



- элементарная функция

○

Некоторые элементарные функции носят специальные названия и имеют собственные обозначения.

Корни – показательные функции с дробным показателем степени .

Гиперболические функции – аналоги тригонометрических, построенные на экспоненте.

Гиперболический косинус: .

Гиперболический синус: .

Гиперболический тангенс: .

Гиперболический котангенс: .

Существует множество функций не являющихся элементарными.



Неэлементарной функцией является факториал .

.

○