2.8 Сравнение функций.
Функция имеющая своим пределом 0 при
называется бесконечно малой
при
.
Функция имеющая своим пределом несобственное число при называется бесконечно большой при .
Пусть
,
в некоторой
,
тогда если
эти функции называются эквивалентными
при
записывается
при
.
Имеют место следующие эквивалентности.
при
при
при
при
.
Говорят, что функция
является бесконечно малой по сравнению
с функцией
при
и пишут
при
,
если
представима в виде
,
где
при
.
,
○
Теорема
Пусть
и
обе
в
.
Для того, что бы
при
необходимо и достаточно, чтобы
при
.
□
Необходимость
Дано: при , по определению это значит, что .
Доказать: что
при
.
По определению
.
,
при
.
Достаточность
Пусть теперь
при
.
По определению это означает, что
,
при
.
Покажем, что при , а это значит что .
■
Из этой теоремы вытекает следующие неравенства:
1.
при
(
при
по теореме
)
2.
при
3.
при
4.
при
5.
при
Эти равенства полезно использовать при вычислении пределов функций в случае, когда имеет место неопределенность. При этом нужно знать следующие правила обращения с символом .
1.
при
□
Пусть
при
и
при
Тогда 
при
,
при
,
при
при
.
■
2.
при
,
если
ограничено в проколотой окрестности
точки
□
при
т.е.
при
■
3. Если
,
то тогда
при
.
□
Если
т.е.
при
.
4. Если
,
то тогда
при
.
□
Если
при
.
■
5.
при
Пусть
■
○
Теорема.
Пусть функции
,
,
и
в проколотой окрестности точки
.
Предположим что
при
,
а
при
.
Тогда если существует предел
,
то существует
и он равен
.
□
■
○
3. Непрерывность числовой функции одной переменной
3.1 Непрерывность функции в точке и на промежутке
Функция
называется непрерывной в точке
,
если она определена в некоторой
окрестности этой точки и
Если обозначить
,
(приращение функции, соответствующее
приращению аргумента
),
то это определение можно записать в
эквивалентной форме:
Функция
называется непрерывной в точке
,
если она определена в некоторой
окрестности этой точки и
Пользуясь определением непрерывности
функции доказать, что функция
непрерывна в произвольной точке
.
Пусть - приращение функции в точке . Найдем соответствующее приращение функции:
.
Теперь найдем предел
.
Таким образом,
,
что и означает (по определению)
непрерывность данной функции в
произвольной точке
.
○
Таким образом, если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
Функция
называется непрерывной слева
в точке
,
если она определена на некотором
полуинтервале
и
.
Функция
называется непрерывной справа
в точке
,
если она определена на некотором
полуинтервале
и
.
Критерий непрерывности функции в точке
Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, т.е. когда
□
Следует из определения непрерывности и критерия существования предела функции
■
Функция называется непрерывной на данном промежутке (интервале, полуинтервале, отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутке.
При этом если функция определена в конце
промежутка, то под непрерывностью в
этой точке понимается непрерывность
справа или слева. В частности, функция
называется непрерывной на отрезке
,
если она;
1) непрерывна в каждой точке интервала
,
2) непрерывна справа в точке ,
3) непрерывна слева в точке .