1.8 Ограниченность функций
Говорят, что число с ограничивает
сверху множество M,
если
.
В этом случае само множество M
называют ограниченным сверху.
Говорят, что число с ограничивает
снизу множество M,
если
.
В этом случае само множество M
называют ограниченным снизу.
Если некоторое множество M ограниченно и сверху и снизу, то его называют просто ограниченным.
То есть множество M ограниченно, если
Наименьшее из чисел, ограничивающих
множество M сверху
называется верхней гранью множества
M и обозначают
- supremum.
Наибольшее из чисел, ограничивающих
множество M снизу называется
нижней гранью множества M
и обозначают
- infinum.
Если множество M ограничено сверху, то у него всегда существует верхняя грань. В отличие от верхней грани множества, наибольший элемент множества не всегда существует
Если множество M ограничено снизу, то у него всегда существует нижняя грань. В отличии от нижней грани множества, наименьший элемент множества не всегда существует
- ограничено сверху,
,
- не существует.
- ограничено,
,
,
- не существует,
- не существует.
○
Если M неограниченно
сверху, то говорят, что его верхняя грань
бесконечна и пишут
.
Если M неограниченно
снизу, то говорят, что его нижняя грань
бесконечна и пишут
.
,
○
Эти примеры показывают, что верхняя и нижняя грани множества не всегда входят в него.
Числовая функция
называется ограниченной снизу,
если ее множество значений ограниченно
снизу.
Числовая функция называется ограниченной сверху, если ее множество значений ограниченно сверху.
Если функция ограничена и сверху и снизу, то ее называют ограниченной на множестве определения D.
– не ограничена ни сверху, ни снизу.
○
– ограничена и сверху и снизу, следовательно, ограниченная функция.
,
.
○
– тоже ограничена и сверху и снизу,
следовательно, ограниченная функция.
Но
,
- не существует,
,
- не существует.
○
Для ограниченных функций справедливы теоремы:
Всякая ограниченная сверху функция имеет конечную верхнюю грань.
Всякая ограниченная снизу функция имеет конечную нижнюю грань.
2 Предел числовой функции
2.1 Окрестности собственных и несобственных точек. Предельные точки множества. Предел функции.
Несобственными точками множества
действительных чисел называются условные
точки
,
,
.
Остальные точки множества действительных чисел – собственные.
Дельта-окрестностью собственной точки
а называется интервал радиуса
с центром в этой точке и обозначается
(рисунок 2.1 а). Дельта-окрестность
собственной точки а можно записать
в форме неравенства
.
Дельта-окрестностью несобственной
точки
называется следующий числовой промежуток
(рисунок 2.1 б). Дельта-окрестность
несобственной точки
можно записать в форме неравенства
,
где
.
Дельта-окрестностью несобственной
точки
называется следующий числовой промежуток
(рисунок 2.1 в). Дельта-окрестность
несобственной точки
можно записать в форме неравенства
,
где
.
Дельта-окрестностью несобственной
точки
называется следующий числовой промежуток
(рисунок 2.1 г). Дельта-окрестность
несобственной точки
можно записать в форме неравенства
,
где
.
а)
|
б)
|
в)
|
г)
|
Рисунок 2.1 - Окрестности собственных и несобственных точек множества действительных чисел
а) , б) , в) , г)
Точка с (собственная или несобственная) называется предельной точкой множества M, если в любой окрестности этой точки найдутся другие точки из множества M.
- множество всех предельных точек отрезок
.
- у этого множества одна предельная
точка
.
○
Пусть на множестве M
с предельной точкой a
задана функция
.
Число b (собственное
или несобственное) называется пределом
функции
в точке a и записывается
,
если
(2.1)
,
.
В этом случае равенство
означает, что
.
Графическая иллюстрация поведения функции вблизи точки показана на рисунке 2.2 а) .
○
,
.
означает, что
.
Графическая иллюстрация поведения функции вблизи точки показана на рисунке 2.2 б) .
○
означает, что
.
Графическая иллюстрация поведения функции вблизи точки показана на рисунке 2.2 в) .
○
Рисунок 2.2 -
Графическая иллюстрация поведения
функции вблизи точки
