2.6 Теорема о пределе монотонной функции

Пусть в некоторой окрестности точки слева от точки функция не убывает и ограничена сверху, тогда:

1. Если - собственная точка, то существует конечный левый предел

2. Если - несобственная точка , то существует - конечный.

□

1 случай. собственная точка.

Пусть - окрестность , где не убывает и ограничена сверху в левой половине это окрестности.

По теореме о существовании конечной, верхней грани функции существующей и покажем, что , т.е. покажем что

Возьмем произвольное и найдём такое , что бы выполнялось условие - верхняя грань наименьшее число ограничивающее функцию сверху всякое наименьшее число не будет ограничением сверху существует в которой .

Положим , это , т.к. - слева от точки . Это и есть искомое. Так как таково, что , а т.к. функция неубывающая, то , т.к. очевидно, т.к. , .

2 случай

Пусть - окрестность точки , фигурирующая в условии теоремы 3. - ограничение сверху в этой окрестности существует , ( - конечная).

Покажем, что , т.е.

, то .

Возьмем существует в окрестности из ограниченности.

Положим это - искомое.

Проверка

Если : , таким образом

Неравенство очевидно, поэтому

■

Существуют, естественно и симметричная теорема - о пределах монотонно убывающей и ограниченной снизу функции. Попробуйте сформулировать ее самостоятельно.

2.7 Предел последовательности. Второй замечательный предел

Поскольку последовательность является частным случаем числовой функции, заданной на множестве натуральных чисел, то предел последовательности может находится только при (поскольку множество натуральных чисел имеет одну предельную точку .

Определение конечного предела последовательности примет следующий вид:

. (2.10)

Если последовательность имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае ее называют расходящейся.

Для пределов последовательности справедливы те же свойства, что и для пределов функций: теоремы об арифметике, о локальном повторении функцией свойств предела, о сжатой переменной.

На основании этих теорем можно доказать, что существует предел последовательности

при . Этот предел носит название второго замечательного предела.

□

Рассмотрим докажем, что существует предел этой последовательности.

1. Докажем, что последовательность - возрастающая

- слагаемое

Нетрудно видеть, что возрастает каждое слагаемое и увеличивается количество слагаемых для любого . возрастающая.

2. Покажем, что ограничено сверху

- это сумма числа 2 и геометрической прогрессии со знаменателем . Ее сумма равна , тогда и

Последовательность ограничена сверху и по каждой теореме о предел монотонной последовательности у неё существует конечный предел. Этот конечный предел называют числом .

Следствие 1

□

Обозначим - целая часть числа . Тогда .

По теореме о сжатой переменной

■

Следствие 2

□

■

Предел функции и предел последовательности глубоко связаны. Эта связь описывается теоремой Гейне:

Пусть на множестве M с предельной точкой a (собственной или несобственной) задана функция . Для того, чтобы существовал предел необходимо и достаточно выполнение условия Гейне: Для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции сходится к точке b.

Без доказательства.