2.2 Свойства и вычисление пределов

1. Предел постоянной – равен самой постоянной. .

□ По определению. Возьмем , тогда в качестве можно взять любое число, например , тогда условие (1) будет выполняться, так как для любого x.

■

2. Если точка a является внутренней точкой области определения функции, то .

□ Докажем на примере .

По определению.

Возьмем достаточно малое , и найдем для которого из будет следовать . Для этого решим последнее неравенство, относительно x.

, , , .

Тогда и в качестве можно знать

■

3. Теорема об арифметике.

Пусть существуют конечные пределы и , тогда существуют:

,

,

, если

□ По определению. Известно, что для функций и выполняются условия:

(2.2)

(2.3)

Докажем утверждение теоремы для предела суммы. Для этого проверим выполнение условия (2.4)

Возьмем достаточно малое, произвольное число , и найдем из условия (2.2) , а из условия (2.3) . Пусть , тогда одновременно выполняются и . Сложив их, получим . Так как , то выполняется условие (2.4), что в силу произвольности и означает выполнение условия (2.4), а с ним и теоремы об пределе суммы.

■



- теорему о пределе частного применять нельзя, так как предел знаменателя равен нулю.

Число три является корнем числителя (так как знаменатель выражение равно нулю при ), тогда в числителе можно выделить множитель (x-3). Разделим столбиком числитель на (x-3) получим: .

○

4. Теорема о локальном повторении функцией свойств предела

Для того, чтобы , необходимо, чтобы в некоторой окрестности точки a выполнялось .

□

Пусть . Возьмем - положительное, тогда для него найдется из условия существования предела (1). То есть при , , , .

■

Аналогично можно доказать, что если , то в некоторой окрестности точки a



Доказать, что - не существует.

□ От противного. Допустим, что , тогда либо , либо , либо .

Пусть . Тогда по теореме 4 функция в некоторой окрестности (где?) >0. А это не так.

Пусть теперь . Тогда по теореме 4 функция в некоторой окрестности <0. А это тоже не так.

И наконец . Тогда, например . Тогда по теореме 4 функция в некоторой окрестности < . А это опять не так.

Следовательно, такого числа нет.

■

○

Следствие из теоремы 4 (о переходе к пределу в неравенствах)

Пусть существуют конечные пределы и , тогда если для любого , то .

□

От противного.

Предположим . Имеем . , следовательно, по теореме 4 в некоторой окрестности точки a .

По условию , следовательно, по теореме 4 в некоторой окрестности точки a .

Таким образом, в окрестности точки a выполняются оба неравенства, следовательно . А это противоречит условию. Поэтому наше предположение неверно и .

■

5. Теорема о сжатой переменной (о двух милиционерах)

Пусть существуют пределы и . Если для всех выполняется неравенство , то .

□ По определению

Возьмем достаточно малое произвольное . Для функций и выполняются условия:

(2.5)

(2.6)

Пусть , тогда одновременно выполняются и .

, следовательно , то есть выполняется условие (2.1) для .

■