Формула Лейбница.
В заключение этого раздела приведем формулу Лейбница, которая позволяет вычислить производную или дифференциал n-го порядка от произведения 2-х функций.
y=uv
y=uv+vu
y=uv+2uv+vu
y=uv+3uv+3uv+vu
…..
Отсюда вытекает общее формальное правило:
Чтобы найти производную (дифференциал) от (uv)(n) надо по формуле бинома Ньютона разложить n-ю степень суммы (u+v)n и затем заменить показатели степеней u и v указателями порядка производных, причем нулевые степени (u0 и v0), входящие в крайние члены разложения заменить самими функциями u и v (то есть, «производными нулевого порядка»).
Для дифференциала n-го порядка справедлива формула
dn(uv)=(uv)(n)dxn
dy=vdu+udv
d2y=vd2u+2dudv+ud2v
d3y=vd3u+3d2udv+3dud2v +ud3v и т.п.
35) Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Их геометрический смысл!!!
Теорема Ферма. Если f(x) непрерывна на (a,b) и в x0(a,b) достигает максимума (минимума) и дифференцируема в x0, то ее производная в этой точке равна 0:
f(x0)=0
Доказательство. Допустим, что f(x0) – максимум (минимум) функции. При достаточно малых x, точка x0+x независимо от знака x.
Пусть x>0
,
переходя к пределу при x+0
получим:
,
как предел неположительной величины.
b)
x<0
Так как для дифференцируемой в x0 функции производная слева равна производной справа f(x0)=0, теорема доказана.
Аналогично проводится доказательство и для x0 - точки минимума, и для случая строгих неравенств.
Геометрический смысл очевиден: касательная к графику f(x) в точке экстремума, в которой f(x) дифференцируема, параллельна оси OX.
рисунок
Теорема Ролля. Если f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), а на концах [a,b] принимает равные значения: f(a)=f(b)=c, то в промежутке (a,b) найдется точка x0 (по крайней мере одна), в которой f(x0)=0.
Доказательство. Рассмотрим случай f(x)c, x[a,b], удовлетворяющий условиям теоремы: f(x)=(c)=0 для любых x0.
Если же f(x)c будучи непрерывной на [a,b], она достигает своих наибольших и наименьших значений – M и m (см. свойства непрерывной функции). При этом возможны 3 случая:
a) f(a)=f(b)=m, f(x) достигнет наибольшего M в x0(a,b), то есть внутренней точке [a,b]. В точке x0 функция дифференцируема и тогда по теореме Ферма f(x0)=0.
b) f(a)=f(b)=M, f(x) достигнет минимума в некоторой x0(a,b), и снова, по теореме Ферма f(x0)=0.
c) Пусть теперь f(x) такова, что f (x0)=M и f (x0)=m, x0,x0(a,b), f(x0)=0 и f( x0)=0 по теореме Ферма.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы Ролля на графике f(x) найдется хотя бы одна точка x0, касательная в которой будет параллельна оси ОХ.
Нарушение хотя бы одного из условий ведет к нарушению вывода из теоремы.
Рисунок Рисунок Рисунок
В частном случае, когда f(a)=f(b)=0 теорема Ролля имеет очень полезное для приложений толкование: Между двумя нулями дифференцируемой функции всегда заключен по крайней мере один нуль ее производной, то есть эта точка может оказаться max или min.
Теорема Коши. Если f(x) и (x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем (x)0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:
(b)(a) т.к. (x) 0 на (a,b) т.Ролля.
Доказательство. Введем вспомогательную F(x)=f(x)-(x), где =const. Выберем теперь такое, чтобы F(x) удовлетворяла условиям теоремы Ролля. Достаточно потребовать, чтобы F(a)=F(b). Другими словами:
F(a)-(a)=f(b)-(b)
-
конечное
значение, т.к. (b)(a)
Тогда
хотя бы в одной точке c(a,b)
F(c)=0
Теорема доказана.
Теорема Лагранжа (частный случай теоремы Коши). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b). Тогда конечное приращение f(x) на [a,b] равно произведению длины отрезка [a,b] на значение производной в некоторой внутренней точке (a,b):
f(a)-f(b)=f(c)(b-a)
Полагая в теореме Коши (x)=x получим: (b)-(a)=b-a, (x)1 (c)=1
Поэтому
(*) 
т.е.
f(b)-f(a)=f(c)(b-a)
Геометрический смысл теоремы Лагранжа определяется формулой (*) . В ней левая часть есть угловой коэффициент хорды MN, соединяющей концы графической функции
РИСУНОК
Правая часть формулы – угловой коэффициент в точке P с абсциссой x=c(a,b)
f(c)=tg tg =tg , то есть хорда и касательная параллельны.
Таким образом, на произвольной дуге графика дифференцируемой функции всегда найдется хотя бы одна точка, в которой касательная будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги.
Тот же геометрический смысл можно придать и теореме Коши, если рассматривать y=f(t) и x=(t) как параметрические уравнения кривой в плоскости XOY, а x считать параметром этой кривой.
36)Раскрытие неопределенности вида (0/0)при xa и при x. Правило Бернулли-Лопиталя!!!
1)Рассмотрим
неопределенность
(при xa),
требуется найти
,
когда
и
.
Примем
f(a)=(a)=0.
Тогда f(x)
и (x)
будут непрерывными в x=a.
Предположим также, что
f(x)
и (x)
дифференцируемы
вблизи x=a
причем
(a)0.
В этом случае:
,
(L - конечно или нет)
Доказательство. Применим к f(x) и (x) теорему Коши на отрезке [x0,a), где x0 окрестности a, в которой f и непрерывны и дифференцируемы (может за исключением a). Тогда
В силу того, что f(a)=(a)=0
,
где c(x0,a)
Если теперь x0a, и ca, поэтому
Теперь, если положить x0=x, c=x
то есть в данном случае правило Бернулли-Лопиталя выполняется.
Примеры:
Неопределенность (x). Докажем справедливость правила Бернулли-Лопиталя и в этом случае.
Итак
требуется найти
,
если
и
.
Предположим,
что для достаточно больших x
(|x|>M)
обе функции дифференцируемы, (x)0
и что существует
(конечный
или бесконечный)
.
Докажем, что
Доказательство:
Перейдем к новому аргументу
.
Тогда, x
u0.
Нетрудно видеть, что к отношению
правило Бернулли-Лопиталя применимо:
в окрестности u=0
f
и
дифференцируемы, а
и существует
Тогда, принимая правило Бернулли-Лопиталя, получим
Возвращаясь к x, получим:
Правило остается в силе при x+ или x-.
Пример.
.
(Теорема Коши. Если f(x) и (x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы в (a,b), при чем (x)0 на (a,b), то отношение конечных приращений этих функций на отрезке [a,b] равно отношению их производных в некоторой точке, которая может быть не единственной:
)
37)
Раскрытие неопределенности вида (
)
при xa
и при x.
Правило
Бернулли-Лопиталя!!!
Неопределенность
(xa).
Пусть теперь нужно найти
,
если
Пусть f и дифференцируемы вблизи a, и (x)0.
Тогда,
если существует (конечный или бесконечный)
,
то
Доказательство. Пусть x1 и x2 окрестности x=a, и пусть x1<x2<a, если точки берутся слева от a, или x1>x2>a - если справа. Тогда на отрезке [x1,x2] или [x2,x1]) к отношению f(x) и (x) применима теорема Коши:
c[x1,x2]
Далее
пусть
Зададим теперь >0 и найдем ()>0 такое, что при |x-a|<()
(*)
Выберем теперь x так, чтобы |x1-a|<() и зафиксируем его. Тогда, согласно условию выбора x2 |x2-a|<() и |c-a|<(), так как c[x1,x2]. Поэтому, в силу (*) будем иметь:
или
Заменяя в этом неравенстве отношение производных отношением конечных приращений функций, получим
(1)
Если
теперь x2a,
не изменяя x1,
то, так как
,
другими словами при заданном , найдется 1(), что при |x2-a|<1()
или
Перемножая теперь почленно неравенства (1) и (2) (что возможно, так как все члены неравенства (2) положительны), получим
и
Другими
словами разность между
и постоянной A
будет бесконечно малой величиной.
Следовательно
и
следовательно
(3)
Пусть
теперь
.
Тогда f(x)0
в некоторой малой окрестности a
(иначе
не было бы бесконечно большой величиной).
С другой стороны
,
а поэтому к обратному отношению применимо
предыдущее правило:
Из последней формулы вытекает справедливость и формулы (3).
Неопределенность (x). Правило применимо, если f(x) и (x) дифференцируемы при любом x, |x|<M, причем (x)0 и при условии, что существует (конечный или бесконечный) .
Для доказательства достаточно перейти к новому * и использовать правило для предыдущего случая.
Правило Бернулли-Лопиталя иногда приходится применять несколько раз, если появляется неопределенность в отношении . Для этого необходимо соблюдение условий применимости теоремы Коши к производной
.