49) Общий план исследования функции и построения ее графика!!!

Под «исследованием функции» обычно понимается нахождение:

1. естественной области существования функции;

2. точек разрыва функции; нули функции?

3. интервалов возрастания и убывания функции;

4. точек максимума и минимума и экстремальных значений функции;

5. областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;

6. асимптот графика функции.

На основании проведённого исследования строится график. Целесообразно помечать элементы графика параллельно с исследованием.

Замечание 1. Если - чётная, т.е. достаточно исследовать и строить её график для ОДЗ, т.к. график симметричен OY.

Замечание 2. Если - нечётная, т.е. также достаточно провести исследование для . График симметричен относительно начала координат.

Замечание 3. Т.к. одни свойства функции могут определять другие, то порядок исследования можно изменять, исходя из конкретного вида исследуемой функции. Например, если непрерывна и дифференцируема и найдены точки максимума и минимума, то тем самым определены области убывания и возрастания.

50) Касательная и нормаль к плоской кривой!!!

Как было показано раньше, уравнение касательной к кривой в точке , которая называется точкой касания, имеет вид:

,

где

Определение. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой .

Используя условие перпендикулярности двух прямых, нетрудно вывести уравнение нормали:

или

.

Пример 1. Найти уравнение касательной и нормали к в точке .

Дифференцируя, получим и .

Уравнение касательной или ,

т.к. . y-y’ = f’(x1)(x-x1)

Уравнение нормали

или

.

y-y’ = -1/f’(x1)*(x-x1)

51) Дифференциал дуги плоской кривой!!!

Определение. Кривые, для которых может быть установлено понятие длины, называются спрямляемыми.

Условие спрямляемости для плоской кривой, заданной заключается в следующем: на спрямляемом участке кривой и должны иметь непрерывные производные по t - и . Аналогично записывается условие спрямляемости и пространственной кривой: непрерывность

Для всякой спрямляемой кривой справедливо геометрическое свойство: предел отношения б.м. дуги кривой к стягивающей её хорде равен 1, при условии, что хорда стягивается в точку. Если длину , а хорды - .

Опираясь на это свойство найдём выражение для дифференциала дуги кривой.

На плоской кривой возьмём 2 точки и которые соответствуют и . Длина хорды . Найдём теперь производную от длины дуги по :

,

т.к. при

и т.к.

Если кривая задана , то принимая за параметр кривой получим , и полагая в (*) получим

.

Если же кривая задана уравнением в полярных координатах , то за параметр можно принять угол , и тогда

.