14) Свойства непрерывных функций!!!

Пусть функция f(x) определена в окрестности точки Xo. Функция y=f(x) непрерывна в точке X=Xo, если lim (x->xo) f(x) = f(xo)

Равномерно непрерыв: Ф-ция f(x), определенная в замкнутом интерв [a,b] непрерывна равномерн, если для произвольного E>0 можно так разбить замкн интерв [a,b] на конечное число интерв [ai,ai+1] i=1,…,n

[ai,ai+1]= [a,b], что знач ф-ции в двух произв точках одного и того же интерв отлич меньше, чем на Е Св-ва:

Ф-ция равномерно непрерывная в интерв [a,b]:

1) непрер в кажд точке интерв

2) равномерно непрер в этом интерв

3) ограничена в этом интерв

Локальные

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .

• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .

• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .

• Если функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  , то их композиция   непрерывна в точке  .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции  , непрерывной на отрезке  , является отрезок   где минимум и максимум берутся по отрезку  .

• Если функция   непрерывна на отрезке   и   то существует точка   в которой  .

• Если функция   непрерывна на отрезке   и число   удовлетворяет неравенству   или неравенству   то существует точка   в которой  .

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке   непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами   и  .

• Если функции   и   непрерывны на отрезке  , причем   и   то существует точка   в которой   Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

15) Предел рациональной и дробно рациональной функции!!! Графики дробно-линейной и дробно-рациональной функций

Дробно-рациональной функцией называется отношение двух многочленов :     , коэффициенты при степенях x -действительные числа, причём, будем предполагать, что числитель и знаменатель дроби не имеют общих линейных сомножителей. При построении графика дробно-рациональной функции надо исследовать поведение функции на бесконечности, а также вблизи нулей знаменателя, которые определяют вертикальные асимптоты графика.

Рассмотрим поведение функции на . Возможны 4 случая.

1) n<m . Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробно-рациональная функция стремится к нулю при стремлении x  к .

2) n=m . В этом случае предел функции на равен отношению старших коэффициентов, это значит, что у функции будет горизонтальная асимптота   .

3) n=m+1 . В этом случае у функции будет наклонная асимптота y=kx+b , которая получается в результате деления числителя дроби на знаменатель:     .

4) n≥m+2 . Значения функции стремятся к при стремлении аргумента x к . Знак бесконечности легко определяется по степеням старших членов n,m и коэффициентам a_n ,b_m при старших степенях, а именно, на + ∞ знак определяется знаком произведения a_n·b_m , а на - ∞ - знаком выражения (-1)^n-m·a_n·b_m .

Теперь рассмотрим поведение дробно-рациональной функции вблизи точек разрыва, т.е. нулей знаменателя. Пусть - корень знаменателя кратности k . Это значит, что при разложении знаменателя на множители одним из сомножителей будет двучлен . При приближении аргумента x к числитель дроби представляет некую константу, отличную от нуля, а знаменатель стремится к нулю, а значит, дробь будет неограниченно возрастать по абсолютной величине, стремясь к . Таким образом, прямая будет вертикальной асимптотой графика функции. Знак бесконечности, к которой стремится функция слева и справа от , можно определить непосредственно подстановкой вместо x в выражение функции числа, близкого к числу с недостатком (слева) или с избытком (справа), но обычно этот знак определяется по методу интервалов, если нам известны корни числителя и знаменателя.

Рассмотрим частный случай дробно-рациональной функции: дробно-линейную функцию  , в числителе и знаменателе которой линейные функции. Графиком дробно-линейной функции является гипербола. Расположение гиперболы определяется вертикальной асимптотой и горизонтальной асимптотой. Вертикальная асимптота - это нуль знаменателя, то есть прямая , а горизонтальная асимптота-прямая ( случай 2 : n=m). Заметим, что рассматривая дробно-линейную функцию, мы предполагаем, что с ≠ 0 , иначе функция будет линейной, и её графиком будет прямая линия.