10) Предел функции!!!

Число b называется пределом функции f(x) при х , если для любого положительного числа e найдется такое число М = М(e), что для всех х М, выполняется неравенство:

f (x)- b e .

Другими словами: число b называется пределом функции при х , если при всех х, удаляющихся в бесконечность значения функции неограниченно приближаются к b.

Записывают так: f(х) = b.

Число b называется пределом функции f(х) в точке а ( или при х стремящемся к а ), если для любого   0 существует  = (), зависящее от , такое, что для всех х  , удовлетворяющих неравенству х – а, справедливо неравенство  f(х) - b .

Другими словами: число b называется пределом функции при х а, если при всех х, неограниченно приближающихся к а, значения функции неограниченно приближаются к b.

Записывают так: f(х) = b.

Геометрическая иллюстрация.

y = f(х)  x-a ,



a-  x  a+,

 f(х) - b ,



b-  f(х)  b+.

Можно доказать:

1. Если функция имеет конечный предел, то этот предел единственный.

2. = С, С = const;

3. х = а.

11)Теоремы о пределах!!!

12) Односторонние пределы!!!

Определение 1 (по Гейне)

Число А называется правым (правосторонним) (resp левым) пределом функции в т. (или при ) если для любой последовательности значение аргумента такой, что , (resp ) соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Определение 1 (по Коши)

Число А называется правым (resp левым) пределом функции в т. (или при ) если для: (resp )  

Односторонние (resp правый и левый пределы функции в т. ) обозначаются resp

Теорема: Для того, чтобы в т. Существовал конечный необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали и были равны односторонние пределы в этой точке.

13) Предел функции на бесконечности!!!

Определение (по Гейне)

Число А называется пределом функции при если любой ББП значений аргумента последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Определение (по Коши).

Число А называется если

Если в определении функции на бесконечности по Гейне считать в частности, что (resp ), то тем самым определение по Гейне предел (resp ).

Если же в определении на бесконечности по Коши считать в частности, что неравенство выполняется при (resp ), то тем самым определяется по Коши соответственно пределы функции на и на .

и

Предел последовательности есть частный случай предела функции при действительно возьмем последовательность { } и рассмотрим функцию определенную на N, так что , тогда и определение предела функции при совпадает с определением предела последовательности .

Теорема

Если при некотором стремлении, то ограничена в некоторой окрестности, соответствующая данному стремлению.