45) Исследование функций на экстремум с помощью формулы Тейлора!!!
Ранее мы
показали, что если при
может быть либо max,
либо min, либо нет ни
того, ни другого. Покажем, как в это
случае может быть использована формула
Тейлора.
Предположим, что при x=a
(1)
Пусть также f(x) имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка включительно в окрестности x=a. Запишем для f(x) формулу Тейлора, учитывая (1):
(2)
Т.к.
непрерывна в окрестности x=a
и
,
что при
.
При этом, если
то и во всех точках интервала
будет
и если
и
.
Перепишем (2) в виде:
(2’)
и рассмотрим различные возможные случаи.
n – нечётное
а)
.
Тогда в интервале
,
и т.к.
.
Т.к.
чётное
число
и правая часть (2’) <0. Следовательно,
точка максимума
.
б) 
,
т.к.
точка
минимума
.
2. n – чётное
Тогда n+1 – нечётное,
и
имеет разные знаки при
и
.
Если h достаточно мало
по модулю, то
-я
производная сохраняет знак во всех
точках
.
Следовательно,
имеет разные знаки при
и
,
а это означает, что в
нет ни максимума, ни минимума
.
Таким
образом, если при
имеем:
,
и первая не обращающаяся в 0 производная
есть производная чётного порядка, то в
имеет максимум, если и
имеет минимум, если
.
Если же
есть производная нечётного порядка, то
не имеет ни максимума, ни минимума при
.
При этом
убывает, если
возрастает, если .
Пример.
,
найти максимум, минимум.
Критические точки
,
порядок чётный и
минимум
.
46) Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условие точки перегиба функции!
Рассмотри кривую , которая является графиком однозначной, дифференцируемой функции .
Определение
1. Будем говорить, что кривая обращена
выпуклостью вверх на интервале
,
если все точки кривой лежат ниже любой
касательной, проведенной к любой точке
из этого интервала.
Кривая
обращена выпуклостью вниз на интервале
,
если все её точки лежат выше любой её
касательной на
.
Кривая, обращённая выпуклостью вверх, называется выпуклой, а обращённая выпуклостью вниз – вогнутой.
В этом разделе мы установим признаки, которые позволяют судить о направлении выпуклости графика на различных интервалах определения .
Теорема
1. Если
кривая
выпукла на
.
Доказательство.
Пусть
.
Проведём касательную к графику
в точке с абсциссой
.
Теорема будет доказана, если все точки
будут лежать ниже этой касательной.
Т.е. ордината
будет меньше ординаты у касательной
при одном и том же значении
.
Как
установлено ранее, уравнение касательной
в точке
имеет вид:
или
.
Нас
интересует знак разности
,
которую можно записать в виде:
.
Применяя
т. Лагранжа к разности
мы
можем записать:
(где
С
лежит между
и
),
или
,
и
к разности производных опять применим
ту же теорему
,
между
и
.
Рассмотрим
теперь случай
.
Тогда
;
т.к.
и
и по условию теоремы
,
т.е. Теорема 1 доказана.
Пусть
теперь
,
тогда
.
В этом случае
и
,
но
.
Таким
образом мы доказали, что
и
ордината касательной больше ординаты
графика
,
а это означает, что кривая выпукла,
Теорема 1 доказана.
Аналогично доказывается и Теорема 1’.
Теорема
1’. Если
,
то кривая
вогнута на
.
Геометрическая интерпретация.
есть
- угла наклона касательной в точке с
абсциссой
.
Поэтому
Если
убывает при возрастании
.
Если
же
возрастает
при возрастании
.
Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба этой кривой.
Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой – над нею.
Сформулируем теперь достаточные условия того, что данная точка является точкой перегиба.
Теорема
2. Пусть кривая определяется уравнением
.
Если
,
или
не существует, и при переходе через
меняет знак, то точка кривой с
есть точка перегиба.
Доказательство. 1) при и
при .
Тогда,
при
кривая выпукла, а при
- вогнута. Следовательно,
есть точка перегиба.
Пусть теперь при
и
при
,
тогда при
кривая вогнута, а при
- выпукла. Следовательно, точка
есть точка перегиба.