5. Условие коллинеарности и ортогональности векторов

В рассмотрении геометрических векторов вводится определение следующей операции.

Произведением вектора  на число  называется вектор, получающийся из вектора  растяжением (при  ) или сжатием (при  ) в   раз, причём направление вектора  сохраняется, если  , и меняется на противоположное, если  .

Из определения следует, что векторы  и  всегда расположены на одной или параллельных прямых. Такие векторы называются коллинеарными. Справедливо и обратное утверждение: если векторы  и  коллинеарны, то они связаны соотношением

                  (8)

Следовательно, равенство (8) выражает условие коллинеарности двух векторов.

В рассмотрении векторов, заданных в координатной форме, условие коллинеарности двух векторов (8) примет вид

или

Это векторное равенство справедливо лишь в том случае, если выполняются следующие три скалярных равенства:

или

т.е. необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат.

Два вектора называют ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

6. Линейная зависимость векторов

Выражение видаλ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n называется линейной комбинацией векторов A₁, A₂,...,A_n с коэффициентами λ_1, λ₂,...,λ_n.

Система векторов A₁, A₂,...,A_n называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n,при котором линейная комбинация векторов λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A₁x₁+A₂x₂+...+A_nx_n =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ_1, λ₂,...,λ_n является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ_1, λ₂,...,λ_n отлично от нуля.

Свойства систем векторов

Свойство (1) Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2) Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3) Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4) Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5) Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m)

7. Векторное произведение векторов и его свойства. Свойства

• Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

• Модуль векторного произведения   равняется площади   параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах   и   (см. Рисунок 1)

• Если   — единичный вектор, ортогональный векторам   и   и выбранный так, что тройка   — правая, а   — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:

• Если   — какой-нибудь вектор,   — любая плоскость, содержащая этот вектор,   — единичный вектор, лежащий в плоскости   и ортогональный к  ,   — единичный вектор, ортогональный к плоскости   и направленный так, что тройка векторов   является правой, то для любого лежащего в плоскости   вектора   справедлива формула

• При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.