21) Система m линейных уравнений с n неизвестными.

Системой m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида

Совокупность n чисел c1, c2, … , cn называется решением системы, если при подстановке их в каждое уравнение вместо соттветственно неизвестных x1, x2, … , xn все уравнения системы обращаются в тождества.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система решений не имеет, то она называется несовместной.

Теперь можно записать систему в матричной форме

A · X = B.

Векторная форма системы имеет вид

x1 A1 + x2 A2 + … + xn An = B.

Здесь A1, A2, …, An — столбцы матрицы A.

Теорема Кронекера–Капелли (условие совместности системы уравнений). Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

22) Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2]. Здесь описан алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью так называемого метода Гаусса. Программу вы можете скачать разделе программы. Алгоритм реализован на языке С.

Пусть у нас есть система N линейных уравнений

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃ + ... a_1Nx_N = b₁  a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + a₂₃x₃ + ... a_2Nx_N = b₂  a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + a₃₃x₃ + ... a_3Nx_N = b₃  ...  a_N1x₁ + a_N2x₂ + a_N3x₃ + ... a_NNx_N = b_N

где x_i - неизвестные, a_ij - коэффициенты при неизвестных, b_i - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.

Цель задачи - зная a_ij и b_i найти x_i.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:

a11x1 +	a12x2 +	a13x3 +	...	a1NxN = b1
	a22x2 +	a23x3 +	...	a2NxN = b2
		a33x3 +	...	a3NxN = b3
...
			...	aNNxN = bN

23) Решение однородных систем линейных уравнений.

Однородные системы линейных уравнений

Однородная система линейных уравнений AX = 0 всегда совместна. Она имеет нетривиальные (ненулевые) решения, если r = rank A < n.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

В линейном пространстве множество решений однородной системы линейных уравнений образует подпространство размерности n – r, - базис этого подпространства.