30. Матрица линейного оператора

Линейный оператор A действует из n-мерного линейного пространства X в m-мерное линейное пространство Y .

В этих пространствах определены базисы e = {e₁, ..., e_n} и f = {f₁, ..., f_m}.

Пусть A(e_i ) = a_1i·f₁ + a_2i·f₂ + ...+ a_mi·f_m — разложение образа i-го базисного вектора базиса e пространства X по базису f пространства Y, i = 1, 2, ..., n.

31. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса

Как уже отмечалось, в пространстве Rⁿ существует множество различных базисов.

Пусть  и  — два базиса в Rⁿ.

Обозначим   и  координаты векторов  и  из Rⁿ и матрицу оператора A соответственно в базисах  и  , а  — матрица перехода от базиса   к базису  , т.е.

,

,

Тогда

откуда имеем

— формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса.

Матрицей линейного оператора в базисах e, f называется матрица A, столбцами которой являются координаты образов базисных векторов базиса e в базисе f , A = {a_ij}= {A(e_j )_i}:

Координаты образа y = A(x) и прообраза x связаны соотношеннием:

y = A· x,

 

 

Вопрос 32 Приведение матрицы линейного оператора к диагональной форме

Таким образом можно описать алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональной форме.

Он состоит в следующем:

• записываем матрицу оператора A в исходном базисе;

• записываем характеристическое уравнение и вычисляем его корни;

• находим собственный базис оператора (если он существует);

• записываем матрицу C, столбцами которой являются координаты собственных векторов (векторов собственного базиса);

• по формуле C^-1AC находим диагональную форму матриц оператора — матрицу оператора в собственном базисе.

  

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия — 

A = TΛT⁻¹

Здесь Λ = diag(λ₁,..., λ_N) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v₁,...,v_N). 

Например,

Вопрос 33 Свойства собственных векторов с одинаковыми и различными собственными значениями.

Свойства собственных векторов

Пусть A^: Xn → Xn — линейный оператор.

1. Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.

2. Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

3. Если линейный оператор A^: Xn → Xn имеет n различных (вещественных) собственных значений, то собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют базис в Xn . Такой базис называется собственным базисом линейного оператора A^ .

4. Матрица A линейного оператора A^: Xn → Xn в некотором базисе x1, x2,  … , xn имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда этот базис собственный, причем диагональные элементы этой матрицы — собственные значения оператора λ1, λ2,  … , λn .