11. Виды матриц

Определение. Таблица m x n чисел a_ij вида      , состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей.      Числа a_ij, стоящие на пересечении i-й строки и j-го столбца, называются элементами матрицы.      Матрицы А=(а_ij) и В=(b_ij) называются равными, если они имеют одинаковые размеры и для каждой пары индексов выполняется равенство a_ij= b_ij.      Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю:            .      Матрица, у которой m=n, называется квадратной матрицей n-го порядка.      В квадратной матрице элементы a₁₁, а₂₂, … а_nn составляют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной:       

    .

12. Действия над матрицами.

1) Умножение матрицы на число      Произведением матрицы   на число λ называется матрица  .

2) Сложение (вычитание) матриц      Суммой (разностью) матриц А и В, в каждой из которых m строк и n столбцов, называется матрица С с элементами, равными суммам (разностям) соответствующих элементов слагаемых:            

3) Умножение матриц      Пусть даны матрица   размерности   и            матрица   размерности  .      Пусть число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В (в этом случае матрицу А называют согласованной с матрицей В).      Произведением матрицы А на матрицу В называется такая матрица   размерности , каждый элемент которой  находится как сумма произведений элементов, взятых по порядку из i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В

13. Определители второго и третьего порядков, их свойства

14. Алгебраические дополнения и миноры

Минором   элемента   матрицы  n-го  порядка называется определитель матрицы  (n-1)-го порядка, полученный из матрицы  А  вычеркиванием  i-й строки и  j-го столбца.

Алгебраическим дополнением элемента   матрицы   называется число

,

Алгебраическим дополнением  А_ij  элемента а_ij матрицы  n-го порядка называется его минор, взятый со знаком, зависящий от номера строки и номера столбца:

то есть алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца – четное число, и отличается от минора знаком, когда сумма номеров строки и столба – нечетное число.

15. Определители n-го порядка

Определителем или детерминантом n-го порядка называется число записываемое в виде

                                            (9)

 и вычисляемым по данным числам   (действительным или комплексным) — элементам определителя – по следующему  закону:  есть сумма

,

распространенная на всевозможные различные перестановки   из чисел 1, 2, …,  . Число   равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки 1, 2, …,   к перестановке  . Произведение   называется членом определителя.

16) Вычисление определителя разложением по строке (столбцу)

Основные определения и простейшие свойства

Определитель

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы A будем обозначать |A| или det A .

Определение 1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число .

Определителем квадратной матрицы порядка n,n>3, называется число .

где Mk - определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.

Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка: