17. Цель определения перемещений в упругих системах. Принцип возможных перемещений в упругих системах. Действительная и возможная работа

Принцип возможных перемещений

В общем случае этот принцип формулируется так: для равнове­сия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма возможных работ всех действующих на нее активных сил на любых бесконечно малых возможных перемещениях точек системы была равна нулю: sw^e + sw ⁱ = о,

где sW^e - возможная работа внешних сил на возможных переме­щениях; SW' — возможная работа внутренних сил на возможных деформациях. s – дельта.

Принцип Лагранжа в упругих системах

Для равновесия упругой системы необходимо и достаточно, что­бы сумма возможных работ всех действующих на систему сил на любых малых возможных перемещениях ее точек была равна ну­лю: W^e + Wi = о,

где W^e - возможная работа внешних сил; Wi - возможная работа внутренних сил (напряжений).

Упругие перемещения точек в линейно деформируемых систе­мах хотя и конечны, но весьма малы по сравнению с размерами элементов. Эти перемещения можно принять в качестве возмож­ных, так как они удовлетворяют наложенным связям.

Действительной называется работа данных сил (внешних или внутренних) на перемещениях и деформациях, вызванных этими же силами.

Возможной называется работа внешних или внутренних сил на возможных перемещениях или деформациях.

Действительная работа силы Pk при ста­тическом действии ее на упругую систему равна половине произведения конечного значения этой силы на окончательное зна­чение соответствующего ей перемещения ∆kk (теорема Клапей

рона; справедлива для любой линейно деформируемой системы):

При вычислении возможной работы силы Рk следует брать не половину, а полную величину произведения каждой

с илы на соот­ветствующее возможное перемещение

С помощью принципа перемещений может быть доказано свойство двойственности статических и геометрических уравнений.

17. Формула Максвелла-Мора

Одним из основных методов определения перемещений является метод Максвелла – Мора (если конструкция может рассматриваться как линейно деформируемая стержневая система) по формуле

Для плоских стержневых систем формула Максвелла – Мора упрощается и в случае только силового воздействия принимает следующий вид:

17. Правило Верещагина

Для вычисления интеграла Мора можно использовать способ Верещагина:

где EJ - изгибная жесткость; Ω- площадь «грузовой» эпюры М_р;

Ус~ ордината «единичной» эпюры М, взятая под центром тяжести эпюры Мр.

Следует помнить, что ордината у_с должна быть обязательно взя­та из прямолинейной эпюры. Результат будет положительным, ес­ли центр тяжести одной эпюры и ордината ус расположены по од­ну сторону от оси стержня.

Если обе перемножаемые эпюры линейные, то операция пере­множения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

17. Применение формулы Симпсона для перемножения эпюр (две трапеции, парабола и трапеция)

17. Статически неопределимые системы (ст. н. с.). Особенности работы, методы расчета. Типы связей ст. н. с. Степень статической неопределимости.

В строительной механике различают следующие два классических метода расчета статически неопределимых систем; метод сил и метод перемещений. При расчете по методу сил основными искомыми величинами являются усилия в лишних связях. Знание усилий в лишних связях позволит по методу сечений, как это было показано в первом разделе учебника, выполнять полный расчет по определению усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов заданной системы. При расчете по методу перемещений основными искомыми величинами являются перемещения узловых точек, вызванные деформацией системы. Знание этих перемещений необходимо и достаточно для определения всех внутренних усилий, возникающих в поперечных сечениях элементов, заданной системы.