2) Некоторое число является натуральным числом только, если выполняются пункты 1) и 2)

Последовательность 1, 2, 3, n,.n+1...+ 1... представляет натуральные числа в их натуральном порядке.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

01 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Каждое натуральное число n имеет однозначно определенное непосредственно последующее число: натуральное число n + 1. Каждое натуральное число n, кроме 0, имеет однозначно определенное предшествующее натуральное число п- 1.

Отношение делимости

О_8.: Натуральное число а меньше натурального числа в (а < в) тогда и только тогда, когда существует некоторое натуральное число х,не равное 0, такое, что а + х = в.

Пример:Верно: 3 < 5, так как 3 + 2 = 5 при 2 большим 0.

Не верно: 15 < 15, так как не существует натурального числа х такого, что 15 + х = 15.

О_{9 .}Натуральное число а называется делителем натурального числа в,тогда и только тогда, когда существует натуральное число х такое, что ах=в. Например: 4•3=12; 4 и 3 – делители числа 12.

О_10. Если а есть делитель в , то говорят, что в есть кратное а или в делится на а

Четные числа

О ₁₂ Натуральное число называется четным, если у него есть делитель 2, т. е. оно может быть представлено в виде 2п

Простые числа

О _{11 .}Натуральное число, большее единицы и делящееся только на единицу и насамого себя, называется простым числом. Пример:число 2 является единственные четным простым числом.

Имеется бесконечно много простых чисел.

Делимость суммы

Т₁ (делимость суммы в + с): Если а|в и а|с, то а|(в + с).

Пример:6|18 и 6|12, то 6|(18 + 12).

Делимость разности.

Т₂ (делимость разности в -с ): Если а|в и а|с, то а|(в - с)

Пример:3|12 и 3|18, то 6|(18 - 12)..

Делимость произведения Пример:а|в и а|с, то а|(в + с).

Т₃ (делимость произведения в с): Если а|в и а|с, то а|(в• с).

Пример:6|18 и 6|12, то 6|(18• 12).

Наименьшее общее кратное (НОК)

О₁₂ Число, кратное нескольких натуральных чисел, называется общим кратным (ОК) этих чисел.

О₁₃ Наименьшее общее кратное (НОК) данных натуральных чисел – это наименьшее отличное от нуля число, которое делится на все данные числа. Пример: Имеет место

НОК (2; 4; 40) = 40, так как оно является наименьшим числом, которое делится на 2, на 4 и на 40.

Число, кратное нескольких натуральных чисел, называется общим кратным (ОК) этих чисел.

О₁₄ Общий делитель (ОД) данных чисел – это число, на которое делятся все данные числа. Пример:

Пусть ОД (25 и 75) , тогда ОД -- 5, 25, 75.

О₁₅ Наибольший общий делитель (НОД) данных чисел – это наибольшее число, которое делит все данные числа. Пример: Имеет место

НОК (2; 4; 40) = 40, так как оно является наименьшим числом, которое делится на 2, на 4 и на 40.

Обратные теоремы ДЛЯ НОД и НОК , т. е. «если а в + с), то а | в и а | с», неверно, что показывает следующий пример: Хотя 7|(39 + 3), но не имеет места ни 7[39, ни 7|13.

Хотя наименьшее общее кратное (НОК) данных натуральных чисел — это наименьшее отличное от нуля число, которое делится на все данные числа. При этом определении исключен нуль, так как он есть кратное каждого числа. Если бы число нуль не исключалось, то НОК произвольных чисел всегда было бы равно 0.

Наибольший общий делитель (НОД) данных чисел — это наибольшее число, которое делит все данные числа

Числа, не имеющие других общих делителей, кроме единицы, называются взаимно простыми.

Так как число 1 — делитель каждого числа, то оно также всегда есть общий делитель произвольных заданных чисел.

Римские цифры

[ = 1

V = 5

L = 50

С = 100

D = 500

М =1000

Каждая римская цифра обозначает всегда одно и то же число, независимо от ее места среди других цифр.

Расположение справа одинаковых знаков или различных знаков с уменьшающимся значением означает операцию сложения. Если знак меньшего значения стоит слева от знака большего значения, то его следует вычитать.

МММ = 1000 + 1000 + 1000 = 3000

МDСХ1 = 1000 + 500 + 100+ 10 + 1 =1611

Дроби

Дробь а/в— упорядоченная пара натуральных чисел а и в,

При этом а называется числителем, а в— знаменателем дроби. ,

О₁₆ Дробь – это упорядоченная пара (а/в), в которой знаменатель в указывает, на сколько равных частей разделено целое число, а числитель показывает, сколько таких частей должно быть взято в дроби.

а/в называется правильной дробью, если а < в: Примеры: 1/7;4/20

а/в называется неправильной дробью, если а > в или а = в Примеры: 8/5 : 70/70.

а/в называется десятичной дробью, если в есть степень числа 10 . Примеры: 76/102=0,76 12557/100= 125,57

Сокращения и удлинения дроби

Дробь сокращают, деля числитель и знаменатель на общий делитель
Дробь удлиняют, умножая числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число, отличное от нуля.

Дроби а/в и c/d происходят друг из друга при сокращении или удлинении и только тогда, когда а• d=b• c

Дробное число

О₁₇: Каждое множество всех дробей, которые проиcходят друг из друга при сокращениях или удлинениях, назы-вается дробным числом.

Для указания дробного числа пригодна каждая дробь, принадлежащая соответствующему множеству дробей. Часто выбирается та дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые.

Дробные числа можно также представлять с помощью (конечных или периодических) десятичных дробей.

Множество всех дробных чисел обозначается Q+. Натуральные числа можно записать в виде обыкновен-ных или десятичных дробей. Поэтому N включается Q+.

Одноименные дроби

Дроби с равными знаменателями называются одноимен-ными. Неодноименные дроби всегда можно сделать одноименными, целесообразно их удлиняя или сокращая.

Дано	Одноименное представление
3/2; 5/6; 11/9	А)27/18; 15/18; 22 /18; Б) 54/ 36; 30/36 В) 81/54; 2) 45/54; 66/54

Знаменатель 18 в этом примере есть НОК знаменателей 2, 6, 9 дробей; он называется общим знаменателем этих дробей.

О ₁₈: Будем говорить, что дробное число а/в меньше дробного числа с/d,тогда и только тогда, когда аd < bс.

Особенно легко сравнивать дробные числа, которые представляются с одинаковыми знаменателями или одина-ковыми числителями.

Наглядные изображения дробных чисел на числовом луче

Каждому дробному числу - можно однозначно сопоставить точку числового луча. Из двух различных дробных чисел меньшее лежит на числовом луче ближе большего. Дробные числа располагаются всюду плотно. Это означает: ни одно дробное число не имеет непосредственно следую-щего за ним или между двумя дробными числами всегда лежит произвольное число других дробных чисел.

Сложение дробных чисел

О₁₉ Дробные числа складывают, выбирая для их обозначения одноимённые дроби (находя общий знамена-тель) и складывая только числители, записав общий знаменатель. Пример:13/4+4/5= 65/20+ 16/20=81/20

Действие сложения дробных чисел подчиняется тем же законам, что и натуральных чисел, что можно доказать.

Умножение дробных чисел

О₂₀ Дробные числа умножают, перемножая соответственно числители и знаменатели. Первое произведение-числитель, а второе – знаменатель про-изведения дробей. Например: 3 /4 *5/7 =15 / 28

Вычитание дробных чисел

О₂₁. Дробные числа вычитают, выбирая для их обозначения одно именные дроби (находя общий знаменатель) и вычитая только числители чисел.

Пример:13/4-4/5= 65/20-16/20=49/20

Деление дробных чисел

Деление дробных чисел сводится к умножению. Так как умножение выполнимо без ограничений, то это верно и для деления.

О₂₂: Дробные числа делят, умножая делимое на дробь, взаимно обратную делителю. ¹

Взаимно-обратныеми дробными числами называются числа, у которых числитель и знаменатель поменяли местами : а /в и в /а. Пример: 3/5:4/7= 3/5 7/4= 21/20.