1.33. С в о й с т в а множества целых чисел

Теорема 1.12. (Vа, Ь&2) либо а <Ъ, либо а = Ъ, либо а>Ь.

Теорема 1.13^('транзитивность отношения "меньше").

(\/а, Ъ, с&2) а < Ь л Ъ <с -> а <с.

Докажем эту теорему для отрицательных чисел. Пусть а > О, Ь > О, с > 0. Пусть -а < -Ь, тогда | -а | > | ~Ь т. е. а > Ь;

-Ь < -с -Ъ | > | -с\₇ т. е. Ь > с.

Тогда из того, что а>ЬаЬ> ^следует а > с или | | > | -с \->-а< -с.

Т. о^доказано, что если -а Ь и ~Ъ < -с, то ~а < -с.

Из #йх теорем следует, что множество ^всех целых чисел линейно упорядочено. Располагая целые числа по порядку так, чтобы каждое меньшее число предшествовало большему, можно представить множе­ство целых чисел в виде последовательности: ^={...,-3,-2,-1,0, 1,2, 3,...}.

Следует отметить, что:

• во множестве 2 целых чисел нет ии первого числа, ни последнего;

• каждому целому числу непосредственно предшествует единствен­ное целое число;

• за каждым целым числом непосредственно следует единственное целое число.

Теорема 1.14 (счетность). Множество 2целых чисел счетно, т. е. 2~М.

Доказательство представляет собой установление взаимно одно­значного соответствия м ежду множествами 2 и N.

2 0, 1,-1, 2,-2, 3,-3,..., п, -п, ...

I А Л А А А Л Л А А

V у Ф у у у у у у

N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 2п, 2й+1,...

Теоре ма 1.15. Множество 2 целых чисел бесконечное.

Это следует из предыдущей теоремы, т. к. 2~№ и N—бесконечное, то 2— бесконечное.

Теорема 1.16. Множество 2 целых чисел дискретно.

Доказательство аналогично доказательству дискретности множе­ства N.

Таким образом, множество ^обладает свойствами упорядоченнос­ти, бесконечности и дискретности.

Следует отметить, что в множестве .2"целых чисел выполняется главное требование расширения множества ^натуральных чисел—операция вы­читания теперь всегда выполнима и однозначна. Деление все еще остается операцией не всегда выполнимой даже тогда, когда делитель не равен 0.

Изображение целых чисел

Целые числа можно изобразить точками на координатной прямой. Отметим прежде всего две точки ОиЕш прямой, причем О левее, чем Е, выберем направление положительных чисел вправо от точки О. От­резок ОЕ примем за единичный и будем откладывать его в обе сторо­ны от О (рис. 1.1).

1 1 9*- ( 1 1 1 1 1

О Е -2-10123

Рис. 1.1/

Целые числа отмечаются точками на прямой, как на шкале термо­метра. При этом числу нуль со ответствует точка О, числу 1 —точка Е, щ. вообще^жаждому целому числу на координатной прямой соответствует единственная точка.

1.4. Рациональные числа

1,4.1.Понятие рационального числа

Во множестве целых чисел не всегда выполнима операция деления, даже если делитель отличен от 0, т. е. уравнение ах = Ь(а Ф 0) не всегда имеет решение.

Поэтому поставим задачу расширить множество Ъ целых чисел до такого множества <2, в котором были бы выполнимы все операции мно­жества 2, причем^в множестве () они должны обладать теми же свой­ствами, какими обладали в множестве 2. При этом в расширенном мно­жестве должно быть выполнимо деление, кроме деления на 0.

Построим множество <2, вводя дроби как доли единицы.

Определение 1.7. Пара чисел (а,Ь), гдеяе2Т, Ь&N , записанная

в виде называется обыкновенной дробью. Число а называется

чисштелем, Ь называется знаменателем.

Для дробей выполняются свойства:

т р

Теорема 1.17^ (признак равенства дробей). Две дроби — и ~

равны тогда и только тогда, когда верно равенство т -д= п -р, то есть т р

— = — <-» т-д = п-р, пд

Теорема 1.18. Отношение равенства дробей является отношени­ем эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично, транзитивно:

2 ~

п~"д^^>д⁼'п (симметричность);

, т р р г т г

3. — = — л — = —> — = - (транзитивность).

п д д з п

Доказательство транзитивности равенства дробей. Из равенств

т _ р р г

₇-₇и_Г7по признаку равенства дробей следуют равенства

тд = пр, рз - дг. Умножим первое равенство на а второе — на п. Получим: гпдя = пр$, рзп - дгп. Отсюда из транзитивности равенства

с т г

целых чисел будем иметь: тдз - дгп или тч = пг, т. е. — = -.

п $

Теорема 1.1 ЩХосновпое свойство дроби). Если числитель и зна­менатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же нату­ральное число, то получим дробь, равную данной, то есть:

т т-к т ник .

— = или— = ——, где/сбУУ.

п п- к п т к

Таким образом, отношение равенства дробей является отношением эквивалентности и задает разбиение множества всех дробей на классы эквивалентности.

Определение 1.8. Множество эквивалентных дробей называ­ется рациональным числом.

\т 2т кт 1

То есть класс | _л ' ~кп I ^{эквивалентных} Дробей является ра­циональным числом. Такие дроби обозначают равные числа. Каждая дробь в отдельности является формой записи некоторого рациональ­ного числа.

Важно замепшть, что всякое целое число а можно также изобра­зить различными дробями: 0 = -.Несократимой дробью ~ на­зывается дробь, у которой тип взаимно простые числа, т. с. О(т.п) * 1. Для любого рационального числа найдется одна представляющая ОГО дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа.

Объединение множества целых чисел и множества всех несократи­мых обыкновенных дробей образует множество (>рациональных ЧИЖ*

^ х та т р та

Отсюда получаем — = —- или —= —

у пр п д пр

Теорема 1.22. Для любой пары чисел а и Ь, где а & 0, существует только одно решение х уравнения а-х-Ь. Число л* называют частным (или дробью) чисел Ь и а и обозначают:

Ь ,

г = — или х = о : а.

а

Для рациональных чисел верно следующее утверждение (правило):

7. Если а < Ъ и а.Ъ > 0, то -<- .

Ъ а

Для доказательства умножим обе части неравенства а < Ь на поло-

11 11

жительное число На основании IV. 1. и 1У.4. и я. — = 1, Ь-— = \ сле-

а Ь а Ь

дует данное утверждение.

* Задания-упражнения

1.2. На основании зависимости между компонентами и результата­ми действий найдите х из уравнения:

а) (0,8 ■ 7 + 0,64) • (1,25 ■ 7 - 0,8х) + 31,64 = 80;

4,5:[ 47-- (26,(З)-0,75*)-2,4:0,8 8

17,81:1,37 - 23 —:1— 3 6

1.4.3. С в о й ст в а множества рациональных чисел

_ „ „ т р т р

Определение 1.13. — < — о тд<пр или — > — -о- пщ> пр.

п д п д

Теорема 1.2<^(связность)- Для любых рациональных чисел вер­но одно и только одно из трех соотношений:

_ т р _ т р - т р либо — < —, либо — > —, либо — = —. п д п д п д

Это следует из соотношений целых чисел: либо тд < пр, либо тд > пр, либо тд = пр.

Теорема 1.24^ (транзитивность). Для любых рациональных чи-

(т р р г\ т г сел верно: —<—л—<- —<- \п д д п $

Таким образом, множество рациональных чисел линейно упорядо­чено отношением "меньше".

Теорема 1.25. (счетность), Множество рациональных чисел счетно.

Покажем это, установив взаимнооднозначное соответствие между множеством натуральных и множеством рациональных чисел (рис. 1.2):

N1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...

Рис. 1.2^

Значит, множество т. е. множество рациональных чисел счетно. Теорема 1.26. Множество рациональных чисел бесконечно.

Теорема 1.27. Множество рациональных чисел плотно.

Это значит, что между любыми двумя рациональными числами со­держится бесконечное множество рациональных чисел. Возьмем два

7 г

неравных числа г₁ и г₇, где г< т_у Число —1 удовлетворяет требуемо-

т + т ^

му условию: г_:< ¹ ■ ² < г₂. С помощью указанного способа можно най­ти и записать бесконечно много рациональных чисел.