1,2. Основные теоремы арифметики натуральных чисел

1.2.1. С в о й с т в а арифметических операций

I. Свойства равенств.

• а - а (рефлексивность равенства);

• Если а ~ Ь, то Ь ~ а (симметричность равенства);

• Если а = Ь и Ь ~ с, то а = с (транзитивность равенства);

• Если а<ЬиЬ< с, то а<с (транзитивность отношения "меньше"). Краткая запись этого свойства: а<ЪлЬ<с->а<с.

  • Основные теоремы и законы сложения.

Теорема 1.1. Для любой пары чисел а и Ъ существует только одно третье число, которое является суммой чисел а и Ь и записывается а + Ь; числа а и Ъ называются слагаемыми.

Для сложения выполняются следующие равенства:

• а + Ь = Ь + а (коммутативность сложения);

• (а+Ь)+с — а + (Ь + с) (ассоциативность сложения);

• Из а < Ъ следует а +с < Ь + с (монотонность сложения) или кратко: а <Ь + с<Ь + с.

Приме р 1.2. Из того, что 4 < 5 следует', что 4+3<5+3, то есть 7 < 8.

• Основные положения вычитания.

Теорема 1.2. Для любой пары чисел а и Ь (Ь> а) существует един­ственное решение х уравнения а+х-Ь, Число х называют разностью и пишут х~Ь-а. Число Ь называется уменьшаемым, а — вычитаемым.

Условие Ъ > а является необходимым и достаточным для существо­вания разности натуральных чисел.

• Основные теоремы и законы умножения. '

Теорема 1.3. Для любой пары чисел а и Ъ существует ТОЧНО ОДЖ третье число, которое называют произведением чисел а й Ь и обоЭНКЧ! ют а-Ь (или аЬУ,Числа а, Ъ называются множителями. Для у МНОЖИМ выполняются следующие равенства: и- 1'

• а-Ъ = Ь-а (коммутативность умпожбйи!)

• (а ■ Ь) - с - а-(Ь ■ с) (ассоциативность умножения)

• {а + Ь) ■ с - а • с + Ъ ■ с (дистрибутивность умножения)

• Из а < & и с > 0 следует а-с<Ь-с^ (монотонность умножения^ или кратко: ...

I

а<Ьлс>0~^а-с<Ь-с. ,

Следует отметить, что в положении 3 операции сложения и умноЖИДО не симметричны друг относительно друга. Если поменять местами операции, то получим ложное высказывание, которое будет иметь В1ЭД1

а-Ь + с* (а + с)-(Ъ + с).

Теорема 1.4. Существует точно одно натуральное число 1, К0Т01 рое не меняет результат умножения, то есть (\/а )а • \~а.

• Основные положения деления.

Теорема 1.5. Для пары чисел а и Ь, где а ф 0 и Ь ^а, уравнение

а - х = Ь имеет- решение. Число х называют частным чисел Ь И а И Щ*

шут: х = — или х = Ь: а; число Ъ называют делимым, а — делиДЩЩ а

Условие Ь >а является необходимым, но недостаточным для ОртЦ» ствования частного натуральных чисел.

' • I

1.2.2. С в о и с т в а множества натуральных ЧИС.Я^

Определение 1.5. Натуральное число а меньше натурального числа Ъ(а<Ь) тогда и только тогда, когда существует натурШНи ное число к такое, что а + к-Ъ:

{а <Ь) ^ (З^еЛО [а +к = Ь]. ¹

Если а < Ь, то можно сказать, что Ь > а. Можно добавить

а<Ъ <-+а <Ъ; а >Ь Vа ^Ъ. _/

Теорема 1.6. (Уа^) а<а'. Действительно, т. к. а + 1,тоа <а '.

Следствия:

1.1<1',т е .1<2, 2 <2 ',т е. 2 <3 и т. д. Получаем ряд: 1 <2<3<4<....

• 1 — наименьшее натуральное число.

• Во множестве N нет наибольшего числа.

Теорема 1.7^ (связность). Для любых натуральных чисел а и Ь либо а < Ь, либо а - Ь, либо а > Ь.

Теорема 1.8. (транзитивность отношения меньше).

(\/а,Ь,с е]У)а<ЬлЬ<с—>а<с.

Доказательство. Из того^чго а < ЬмЪ < с следует, что существуют такие натуральные числа /с и^Гчто верны равенства а + к = Ь и Ь + / = с. Тогда с = Ъ + / = (а + А) +1 = а + (к + /). Так как число к + 1 — натураль­ное, то (по определению 1.5.) а < с.

Таким образом, отношение "меньше" во множестве N является от­ношением строгого линейного порядка, а множество ТУ линейно упоря­доченное.

Теорема 1.9^ (дискретность). е ТУ) (Зп е Ы)а <п<а'.

Доказательство (методом от противного). Пусть найдется та­кое натуральное число п, что а < п и п <а\ т. е. п < а+\. Из того, что а < п^следует, что существует число к е ТУ, что а+к = л. Так как к е Я, то~к>1. Прибавим к обеим частям последнего неравенства число а, получим а+к>а+\ или/? >#+1. Последнее неравенство противоре­чит предположению о том, что п<а+1, что доказывает его ложность. Значит, не существует натуральног о числа, которое лежит между дву­мя "соседними" натуральными числами, т. е. множество ТУ дискретно.

Кроме того, множество ТУ натуральных чисел обладает свойством бесконечности, т. к. в нем нет наибольшего числа. Доказывается это у тверждение методом от противног о. Предположим, что во множестве ТУ есть наибольшее число, пусть это будет число а. Прибавим к нему 1, получим новое число а+\ = а'. Но а < а', т. е. а — не наибольшее число.

Итак, множество ТУ натуральных чисел обладает свойствами линей­ной упорядоченности, бесконечности, дискретности.