4ИТание комплексных чисел

А% определения сложения комплексных чисел выводится знак © как для об­ещания сложения: й; Ь) © (с; сО (а - с; Ь - ф.

Умножение комплексных чисел

Умножение комплексных чисел (знак О) определяется следующим образом:

(а; Ь) О (с; б) •= {ас - Ьб] аб + Ьс).

Деление комплексных чисел

Из определения умножения комплексных чисел выводится знак О как для обращения умножения:

, , _ . (ас + Ьб Ьс - абл , „

(а; Ь) О с; б) = — _? > ~2 г <^с; * (0; 0).

^с + б с + <Г'

При всех вычислительных операциях можно заменять действительные комп­лексные числа вида (а; 0) на действительное число а. Для чисто мнимого числа (0; 1) для краткости используется буква /'. Для любого комплексного числа (а; Ь) получается (по определению умножения и сложения): (а; Ь) = а + Ы (<" Рис. 24).

п При этом

И / • / = (0; 1) ■ (0; 1) = (0 • 0-1 • 1; 0 • 1 + 1 • 0) = <-1;0) = -1 Взаимно сопряженные комплексные числа

Определение: г есть_число, комплексно сопряженное к г ~ а + Ы. Верно по определению, что г = к - Ы.

Взаимно сопряженные комплексные числа отличаются, следовательно, толь­ко знаком мнимой части. Они расположены на комплексной числовой плос­кости симметрично относительно действительной оси.

Вычисления с комплексными числами

При вычислениях комплексные числа вида а + Ы рассматриваются как суммы действительных чисел.

т а) (2 - 5/) + (6 - 3/) = 8-81= б) (4 + 3/) - (1 - 3/) = 3 + 6/ = = 8(1-/); =3(1+2/);

в) (7 + 2/) • (4 + 0-7 • 4 + 2/ ■ 4 + 7 • / + 2/² = = 28 + 15/+ 2 • (-1) = = 26 + 15/';

4/ _ (3 - 4/)(4 - 5/) _ (4 + 50(4 - 5/)

12 + 20 Г - 31/

16 - 25 /² -8 - 31/ ₌ _ 31 . 41 41 41

(Умножение числителя и знаменателя на число, комплексно сопряженное зна­менателю.)

Г)

5/

Модуль комплексного числа

Определение: Модуль |г| комплексного числа г = а + Ы есть \г\ = ■ + Ь² Рис. 24).

Модуль комплексного числа определяет его расстояние от начала координат числовой плоскости. / Модуль действительного числа, с. 40.

Имеем \г\ = \г\ = 4г~г\ • г₂\ = 1^1 • |г₂|;

, {г₂ ф 0).

ригонометрическая форма комплексного числа

^сли ввести полярную систему координат на комплексной плоскости, то риожно записать комплексное число г = х + /у {г ф 0) в так называемой триго­нометрической форме (/" Рис. 25).

x = г' СОЗ ф у = Г■ 3!П ф г - х + /у

2 = Г (СОБ ф + I 51П ф)

(тригонометрическая форма)

Рис. 25

; ею ф = * -

4- у

Угол ф называется аргументом 2(агд 2). Он однозначно определен с точно- 0ТЫ0 до прибавления 2ял (где п — целое).

Комплексное число г = 0 нельзя представить в тригонометрической форме, тек как ему не может быть однозначно сопоставлен аргумент. / Полярные координаты, с. 300 и далее.

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Для комплексных чисел - г-,(соз <р₁ + / зт щ) \л г₂- ^(соз ф₂ ⁺ ' ⁸'^п Ф₂) имеем:

а) г_л ' г₂~ ^Г\ * ^Г2^С05 [(Ф1 ⁺ Ф2) ⁺' ⁸'^п (Ф1 ⁺ г_л г,

б) - - - [соз (Фч - ф₂) + /' 51П (ф₁ - ф₂)].

2 '2

■ • г₂ ⁼ ^(соз ф-| + /' 31П ф.-,) • г₂(соз ф₂ + / з!п ф₂) =

= г_л ' Г₂[С03 ф-|С05 Ф₂ - 31П ф-(51П ф₂ + /(81П _Ф1С03 ф₂ + СОЗ ф-,51П ф₂)] =

= г-| • г₂[соз (фч + ф₂) + / 81П (фч + ф₂}] (Теоремы сложения для синуса и косинуса.)

Теоремы сложения для функций зт и соз, с. 130. Комплексные числа в тригонометрической форме умножают, умножая моду­ли и складывая аргументы.

Чтобы разделить комплексные числа в тригонометрической форме, надо разделить модули и взять разность аргументов.

И Дано: г_л - -1 - 3/; г₂ = 2 + /'.

Умножение: ^ • *₂ = (-1 - 3/)(2 + /) = -2 - / - 6/ - З/'² = 1 - 7/.

-1 - 3/ (-1 - 3/)(2 - /) -2 + / - 6/ + З/² -5 -5/ . . Деление: 21 : г₂ = -- г = Чт —г² = 5 = —~— - -1 -

¹ ^ 2 + I (2 + /)(2 -/) 4 - / ⁵

Преобразование в тригонометрическую форму:

= х₁ + /у₁ ~ -1 - 3/ = х₂ + /у₂ = 2 + 1

Х1=-1;У1=- з х₂ = 2;у₂=1

п = М + к?	= 71 о	1 2 2 Г2 = л/Х2 + У2 =
СОЗ ф1 = — = 1	1 710	*2 2 созФ2=- = ^
Ул ЗШ ф1 = - = - 1	3 "Лб	У 2 1 з,пф2=-= л
Фч - 251,57°		ф2 - 26,57°

Следовательно, Следовательно,

2ч = л/То (соз 251,57° + / зт 251,57°) ;г₂ = 75 (соз 26,57° + 1з1п 26,57°)

Умножение: • 2₂ = 710 • л/5 (соз 278,14° + /' зю 278,14°) =1-7/ (с точно­стью до ошибок округления).

Деление: ^ = ^ (соз 255° + / з'ш 225°) = 72 [~\Л - ^72/) = -1 - /.

Возведение в степень и извлечение корня для комплексных чисел в тригонометрической форме

I² = 2 • 2 = /"(СОЗ ф + /' 31П ф) • Г(С05 ф + / 51П ф) = Г(С05 2ф + /' 51П 2ф) (правило умножения).

Полная индукция дает: = /'(соз л <р + /' з'ш Лф) (л е N. п > 1). Принимая во внимание периодичность синуса и косинуса, имеем 1 - г(соз (ф + к • 2к) + / 31П (ф + к ' 2л)) (к = 0; 1; 2; ...). Отсюда следует, что 1 1

_пг л п/ ф + к - 2п . <р + к - 2к 1/2=2 = Г |С03- + 31П~

По правилу умножения имеет место

(^	л	('Л	п
		л	(
\г	=	Г	1 соз л
1 )		1	V

Ф+/с • 2к

= г(соз (ф + к ■ 2тс) + / З1'п л • 2л).

+ / зю п •

Аргумент для к = 0 получается равным ^, а для к = л получаются ^ + 2п.

Оба аргумента дают одно и то же комплексное число.

Если брать для к ряд значений к = 0; 1; 2; ...; л - 1, то получается л значений

для ^п4~2.

абота с переменными

ратные некоторого выражения

Умножение выражений на произвольные действительные числа дает крат­ные этих выражений.

Действительные числа называются коэффициентами. * Наименьшее общее кратное, с. 43 и далее. / Выражения, с. 12.

Выражение	X	6	а3	а-Ь	5х
Кратное	0,5х		1,За3	-9(а - Ь)	3 • 5х = 15х

Для многих выражений можно найти общее кратное.

Пусть дано	За2Ь =	3 •	а2	ь
362Ь, 12аЬ2 и 8аЬс	12аЬ2 =	22	• 3	а	Ь2
>Яадо найти	8 аЬс =	2з	• а	Ь	с
Наименьшее общее кратное		23	• 3	а2	• Ь2 • с = 2Ла2Ь2с

■ОКрытие скобок/вынесение за скобки

Раокрытие скобок ►	И -2а(ЗЬ - 5с) = -6аЬ + Юас Я За + ха = (3 + х)а
а(Ъ + с) - аЬ + ас
^несение за скобки <

. 4а (Ь_ 3 6а\_4а 4а 3_ 4а 6а 2а 4 8а².

^{Я а}> ЗЬ{2с ⁺ а ~ Ь ) ЗЬ ' 2с ЗЬ ' а. ЗЬ ' Ь 3с Ь '

б) 25а²Ь - 40а²Ь² + 5аЬ =

= 5аЬ • (5а) - 5аЪ • (8аЬ) + 5аЬ • (1) = = 5аЬ(5а - 8аЬ + 1).

Сложение и вычитание кратных одного выражения

Приведение подобных членов основано на вынесении общего множителя за скобки.

и а) За² + 5а² = (3 + 5)а² = 8а²;

б) 0,5и³ - 7,2и³ + 9и³ = (0,5 - 7,2 + 9)и³ = 2,3и³.

Вй За² - 8а⁴; возможно частичное приведение; За² - 8а⁴ = За² - 8а²а² = (3 -8а²)а².

Деление выражений

Деление выражений возможно только тогда, когда значение делителя не равно нулю. В таком случае дробь можно сократить.

Ш 8т³п² : {4тп) = = 2т²п (т, п * 0).

Сложение и вычитание суммы

Опускание скобок	►
а + (Ь + с)=а + Ь + с а + (Ь-с) = а + Ь- с а + {-Ь + с)=а-Ь + с а + {-Ь - с) = а - Ь - с		а - (Ь + с) = а - Ь - с а-{Ь-с) = а~Ь + с а - (-Ь + с) = а + Ь- с а-(-Ъ-с) = а + Ь + с
Заключение в скобки	•4

т 6г~ [0,5з² + ({ + г²) - (-3X² + 25)] =

{первая возможность: начинают с круглых скобок)

= 6г - [0,5з² + I + г² + З*² - 2з] = 6г- 0,5г² - { - г² - ЗГ² + 25 - {вторая возможность: начинают с квадратных скобок)

= 6г - 0,5з² - (Г + г²) + (-ЗГ² + 25) = 6г - 0,55² - { - г² - 31² + 25

« 2а - 3,5 + 6,ЗЬ ~ с = 2а - (3,5 - 6,3Ь + с) = или = (2а - 3,5) + (6,ЗЬ - с) =

или = 2а - 3,5 - (-6,ЗЬ + с)

Умножение суммы

Раскрытие скобок:

[5а - 4а(Ь + 2с)][а + 9аЬ] = [5а -4аЬ - 8ас][а + 9аЬ] =

= 5а² + 45а²Ь - 4а²й - 36а²Ь² - 8а²с - 12а²Ьс = = 5а² - 36а V + 41 а²Ь - 12а²Ьс - 8а²с.

Двучленные формулы: (а ± Ь)² = (а ± Ь)(а ±Ь) = а²± 2аЬ + Ь²; (а - Ь)(а + Ь) - а² - Ь². Вынесение за скобки:

6 аЬ + 2 ас + 15Ь + 5с = 2а(ЗЬ + с) + 5(ЗЬ + с) = (2а + 5){3 Ь + с),

Деление суммы,- деление многочлена

Согласно распределительному свойству умножения, в случае с * 0:

(а + Ь) : с = (а + Ь) • ^ = а • ^ + Ь • - =а:с + Ь:с.

с с с

Для а * 0 получим

(ЗаЬ + 12а + 15а²) : За = + ~~ + = Ь + 4 + 5а. Можно разделить одну сумму на другую (деление многочлена на многочлен).

(28а² + 13а& - 6Ь²) : (4а + ЗЬ) = 7а - 2Ь - (28а²+ 21аЬ)

0 - 8аЬ - 6Ь'

и

О

Зг

)5(х² + 10х + 21ху -3x2 + 14у ~ 52) : (Зх + 2) = 5х + 7у - 2 -

Зх + 2

- (15х² + 10х)

О + 21ху + 14у

-(21ху +14у)

0-3x2 - 52 -(-3X2 - 22)

-32

Вычислительные операции с дробными выражениями

Дробные выражения вычисляются по обычным правилам действий с дробя­ми, включая правило приведения^ общему знаменателю, который есть об­щее кратной отдельных знаменателей (/* С. 43). При этом предполагается; что все знаменатели не равны нулю.

Сложение/вычитание дробных выражений:

_ . Ь , Зх Ь + Зх .

2. , .2 2,2 2. .2 2.2 а Ь + аЬ - а Ь а Ь аЬ а Ь , , , , , _Л.

^б> аЬ ⁺7Ь ^{=а + Ь}-^аЬ^^а '

₀\ ⁷У ^5х 4. ³ - Нахождение общего знаменателя

' 2 2 XV ~

х + ху ху + у ^Лу

__ 7 у ■ у -	- 5х-х + 3(х + у)	х2 + ху	= х • ( X + у)	У
	ху(х + у)	ху + у2	= у • (х + у)	X
_ (7/ -	5х2) + 3(х + у)	ху	= х • у	X + у

ху(х + у) Общий знаменатель х • у ■ (х + у)

Умножение/деление дробных выражений:

2х _ бху _ 2х■бху _ 2х•2х ₌ 4*2 _

^а' 3у 2 Зу.г г г '

г. а Ь

20х _ а^Ь . 3,5аЬ _ аЪ 75х _ 15а ' 3,5аЬ 20х ^- 75х 20х 3,5аЬ 14 ' 75х

Сокращение сумм:

С помощью вынесения за скобки часто можно сократить дробные выраже­ния, чьи числители и знаменатели состоят из сумм.

а² - 2аЬ + Ь² _ (а - Ь)² _ а - Ь

² ~ Ь² (з + Ь)(а - Ь) а + Ь

Вычисления с приближенными значениями Округление

При округлении заменяется на нуль одна (или более) цифра на конце деся­тичного представления числа. Если эти нули стоят после запятой, то можно их опустить. При округлении с недостатком сохраняется последняя, не за­мененная на нуль, цифра. При округлении с избытком она увеличивается на единицу.

Последняя не замененная цифра непосредственно следует	■ Примеры
1) за 1, 2, 3 или 4: производится округление с недостатком	816-800; 826 - 800; 836 - 800; 846 * 800

т

а

- 1252

Чиолп

Пооледняя не замененная цифра непосредственно следует	■ Примеры е
2) за 5, 6, 7, 8 или 9: производится округление с избытком	866 - 900; 876 - 900; 886 « 900; 896 * 900; 852 - 900; 850 - 900

Примерный расчет

При оценке — примерном расчете — результатов вычислений входящие в расчет числа так упрощают, чтобы можно было с упрощенными числами опе­рировать в уме. При этом не используются правила округления.

I Пусть надо вычислить 6,26-19,7 36,8

_л 5 21 6 18 520 20 .

Оценка: = 3, или = 3, или - у « 3.

Замечание: Примерный расчет имеет смысл тогда, когда он требует меньше вычислительных усилий, чем прямое вычисление результатов.

Эцанка

При оценке результата расчета получают верхнюю и нижнюю границы ре­зультата, лежащие насколько возможно близко друг к другу.

I Оценить произведение х - 53,75 • 7,53. Так как 53 < 53,75 < 54 и 7 < 7,53 < 8, то 53 • 7 < х < 54 • 8, 371 < х < 432.

Точное значение х = 404,7375.

I Оценить частное х = .

Так как 24 < 24,3 < 25 и 38 < 38,7 < 39, то 24 25 _25_ _2

5© ^Х 38^< 37,5 3'

уд < х< |; 0,61 <х< 0,67.

С четырьмя десятичными знаками х = 0,6279.

• Точные границы множества действительных чисел, с. 34.

!риближенные значения

Числовые данные, отклоняющиеся в большую или меньшую сторону от точ­ных значений, называются приближенными значениями. Чем меньше аб­солютная величина этого отклонения, тем лучше приближенное значение. Приближенные значения получают:

• при оценках, округлениях, примерных расчетах,

• при измерениях,

при вычислениях, в которых присутствуют приближенные значения.

• Приближенные значения, возникшие при округлении:

а) ^ = 0,33; в) я -3,142;

б) ^«0,4286; г) 72-1,414.

Максимальное отклонение приближенного значения от (в большинстве слу­чаев неизвестного) точного значения сверху или снизу, вообще говоря, не превышает половины значения разряда последней данной цифры (основной цифры).

• При задании 72 = 1,414 точное значение 72 лежит между 1,4135 и 1,4145.

Абсолютная ошибка

Абсолютная ошибка е приближенного значения а для заданного числа х есть разность а - х. Для заданных величин абсолютная ошибка имеет ту же размерность, что и рассматриваемая величина.

Так как точное значение х большей частью неизвестно, то нельзя также ука­зать и абсолютную ошибку.

Вместо нее указывают границы для абсолютной ошибки. Число Да > 0 называется абсолютной границей ошибки для приближенно­го значения а заданного числах, если а~Да<х<а + Да. Пишут также х = а ± Да.

• Для приближенного значения а = 1,414 числа х = 72 имеет место Да = 0,0005, т. е.

72 = 1,414 + 0,0005.

Относительная ошибка

Относительная ошибка приближенного значения а для заданного числа х

а - х

(а* 0).

а

Аналогично абсолютной ошибке указываются границы также для относитель­

определяется как число

Аа а

сительная ошибка и относительная граница ошибки часто указываются в процентах.

называется относительной границей ошибки. Отно-

Верная цифра (разряд)

В приближенном значении цифра называется верной, если модуль абсолют­ной ошибки приближенного значения не больше, чем половина значения разряда этой цифры.

В приближенном значении разряд называется верным, если он занят вер­ной цифрой. Цифры, которые возникли при правильном округлении, являют­ся верными.

ной ошибки. Число

I.Числовые системы