40.Угол между плоскостями, условия перпендикулярности и параллельности прямых.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми l1 и l2, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии пересечения плоскостей.

Если заданы уравнения плоскостей A1x+ B1y + C1z+ D1 = 0 и A2x + B2y + C2+ D2 = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

cos α=	|A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|
	(A12 + B12 + C12)1/2(A22 + B22 + C22)1/2

Если угол между плоскостями равен 90 градусов, то плоскости перпендикулярны,

Это определение перпендикулярности плоскостей.

признак перпендикулярности плоскостей:

Если плоскость α проходит через перпендикуляр к плоскости β, то плоскости α и β перпендикулярны.

Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.

Это определение.

признак параллельности плоскостей:

Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

40. Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки M0(x0,y0,z0) до плоскости можно найти, используя следующую формулу.

d = |A·x0 + B·y0 + C·z0 + D| / (A2 + B2 + C2)1/2

41.Общие уравнения прямой в пространстве.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

	м н о

A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что эти плоскости непараллельные, т.е. их нормальные векторы неколлинеарные. Эта система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.

42. Каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пусть прямая проходит через точку M1 (x1, y1, z1) и параллельна вектору  (m ,n, l). Составим уравнение этой прямой.

 Возьмем произвольную точку M (x, y, z) на этой прямой и найдем зависимость между x, y, z. Построим вектор

.

Векторы   и   коллинеарны.

 - каноническое уравнение прямой в пространстве.

43. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz. Зададим в ней прямую a ,указав направляющий вектор прямой   и координаты некоторой точки прямой  . От этих данных будем отталкиваться при составлении параметрических уравнений прямой в пространстве.

Пусть   - произвольная точка трехмерного пространства. Если вычесть из координат точки М соответствующие координаты точки М1, то мы получим координаты вектора  , то есть,  .

Очевидно, что множество точек   определяет прямую а тогда и только тогда, когда векторы   и   коллинеарны.

Запишем необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов   и  :  , где   - некоторое действительное число. Полученное уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве. Векторно-параметрическое уравнение прямой в координатной форме имеет вид   и представляет собой параметрические уравнения прямой a. Название "параметрические" не случайно, так как координаты всех точек прямой задаются с помощью параметра  .