50. Размерность и базис векторного пространства.

Векторное пространство   называется n-мерным, если в нем можно найти n линейно независимых векторов, но больше, чем n линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Размерность пространства   условимся обозначать через dim.

Например, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3.

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным.

Совокупность n линейно независимых векторов n- мерного векторного пространства   называется его базисом.

51. Разложение вектора по базису.

Линейной комбинацией векторов a1, ..., an с коэффициентами x1, ..., xn называется вектор

x1a1 + ... + xnan.

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a1, ..., an, необходимо найти коэффициенты x1, ..., xn, при которых линейная комбинация векторов a1, ..., an равна вектору b,

x1a1 + ... + xnan = b,

при этом коэффициенты x1, ..., xn, называются координатами вектора b в базисе a1, ..., an

52. Переход к новому базису

 Пусть в пространстве   имеется два базиса:   и  .

Первый условимся называть старым базисом, второй – новым. Каждый из векторов нового базиса, по Теореме 5.1, можно линейно выразить через векторы старого базиса:

(5.1)

Новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

При этом коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы. Матрица   называется матрицей перехода от базиса   к базису  .

Определитель матрицы   не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно и векторы  , были бы линейно зависимы.

Обратно, если  , то столбцы матрицы линейно независимы, и следовательно векторы  , получающиеся из базисных векторов   с помощью матрицы  , линейно независимы и значит образуют некоторый базис. Таким образом, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка n с отличным от нуля определителем.

53. Евклидово пространство.

 Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством   над полем вещественных чисел с метрикой, введённой по формуле:

где   и 

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства   размерности n = 1 (вещественная прямая) и   размерности n = 2 (комплексная плоскость или евклидова плоскость).

54. Ортонормированный базис.

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

            Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

55. Процесс ортогонализации векторов.

Ортогонализация ― процесс построения по заданному базису линейного пространства некоторого ортогонального базиса, который имеет ту же самую линейную оболочку. Ввиду удобства и важности ортогональных базисов в различных задачах, важны и процессы ортогонализации.