14. Системы линейных однородных уравнений, свойства их решения.

Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

м п п н п п о a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 … … … … … … … … … … … am1x1 + am2x2 + … + amnxn = 0

(1)

Эта система может быть записана в виде матричного уравнения

A · X = O

Система (1) всегда совместна, так как:

имеет очевидное решение x10  =  x20  =   …   =  xn0 = 0 , которое называется нулевым, или тривиальным;

добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли;

15. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления....» [1]

Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Пусть x_i – общий (валовый) объем продукции i-ой отрасли (i = 1, 2,..., n);

x_ij – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой j-ой отраслью в процессе производства (i, j = 1, 2,...n);

y_i – объем конечного продукта i-й отрасли для непроизводственного потребления.

Валовой объем продукции i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, значит

, (i = 1, 2,... n).

Назовем такие уравнения соотношениями баланса. Рассмотрим стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в уравнение имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат

, (i, j = 1, 2,...n),

дающие затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли.

Положим, что в рассматриваемом промежутке времени коэффициенты a_ij постоянны. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, то есть

x_ij = a_ij×x_j, (i, j = 1, 2,...,n),

отчего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.

Соотношения  баланса примут вид:

, (i = 1, 2,...,n).         (1)

Пусть  где

назовем матрицу X  вектором валового выпуска, Y – вектором конечного продукта, А – матрицей прямых затрат.

Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:

X = A×X + Y.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y. [1]