45. Угол между прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности.
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
46. Угол между прямой и плоскостью в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности.
Прямая a пересекает плоскость α. а не перпендикулярна плоскости. Основания перпендикуляров, опущенных из точек прямой a на плоскость α, лежат на прямой a`. Эта прямая называется проекцией прямой a на плоскость α.
Угол между прямой и проекцией этой прямой на плоскость называется углом между прямой и плоскостью.
Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
47. Геометрический смысл линейных уравнений и неравенств.
48. Линейное (векторное) пространство.
Пусть 
множество
элементов произвольной природы, для
которых определены операции сложения
и умножения на действительное число:
паре
элементов множества 
, 
отвечает
элемент 
,
называемый суммой 
и 
;
паре
, 
отвечает
элемент 
,
называемый произведением числа 
и
элемента
.
Будем
называть множество
линейным
пространством, если для всех его элементов
определены операции сложения и умножения
на действительное число и для любых
элементов 
и
произвольных чисел 
справедливо:
,
сложение коммутативно;
,
сложение ассоциативно;
существует
единственный нулевой элемент 
такой,
что 
, 
;
для
каждого элемента существует единственный
противоположный элемент 
такой,
что 
,
,
умножение на число ассоциативно;
,
;
,
умножение на число дистрибутивно
относительно сложения элементов;
,
умножение вектора на число дистрибутивно
относительно сложения чисел.
Равенства 1--8 называют аксиомами линейного пространства.
Линейное пространство часто называют векторным пространством, а его элементы -- векторами.
49. Линейная зависимость векторов
Выражение видаλ1*A1+λ2*A2+...+λn*An называется линейной комбинацией векторов A1, A2,...,An с коэффициентами λ1, λ2,...,λn.
Определение линейной зависимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел λ1, λ2,...,λn,при котором линейная комбинация векторов λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет ненулевое решение. Набор чисел λ1, λ2,...,λn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел λ1, λ2,...,λn отлично от нуля.
Определение линейной независимости системы векторов
Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторовλ1*A1+λ2*A2+...+λn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел λ1, λ2,...,λn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ имеет единственное нулевое решение.